Фаталистические делители числа

[Ktina]

Назовём натуральный делитель $d$ натурального числа $n$ фаталистическим, если $d+2$ тоже является делителем числа $n$.

Может ли оказаться так, что более половины всех натуральных делителей числа $n$ являются фаталистическими?

[vicvolf]

Число $1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$ имеет более половины фаталистических делителей.

[gris]

Я думаю, что в состав делителей входит и само число. То есть $105:1,3,5,7,15,21,35,105$.Три из восьми. А, стало 15. Половина.
Тут в корень надо смотреть

[Ktina]

gris в сообщении #1325025 писал(а):

Тут в корень надо смотреть

Это если бы в условии задачи вместо 2 было 1, тогда, ясное дело, все такие делители должны были бы быть меньше корня, что превратило бы задачу в разминку для маткружка. А вот если 2, то уже не всегда. Например, у числа 12 есть фаталистический делитель, равный 4, он больше корня из 12.

[gris]

Корень делит делители на две равные группы. Может Корень быть фаталистическим? Предположим, что у $m^2$ есть делитель $m+2$. У него есть парный делитель $m^2/(m+2)$. Разность $m-m^2/(m+2)=2m/(m+2)$ меньше $2$ и равна $1$ только при $m=2$. То есть, только у числа $4$ Корень фаталистичен. Поэтому у желанного числа должны быть минимум два фаталистических делителя, больших Корня. Рассмотрим один из них.
Предположим, что у $N$ есть ф-делитель $m$. Раccмотрим разность парных делителей $N/m-N/(m+2)=2N/m(m+2)$. Пусть эта разность равна $1$. Тогда $m=\sqrt{1+2N}-1$.
Уравнение имеет натуральный корень при $N=2k(k+1)$. Например, при $N=4;12;24...$.
Эти числа имеют ровно один фаталистический корень порядка $1$ (это разность между парными делителями), больший Корня.
Рассмотрим ф-делитель порядка $k$. Уравнение имеет ровно один корень $m=\sqrt{1+2N/k}-1$. И он должен быть больше Корня. Увы.

[Ktina]

gris
Большое спасибо!