Отсутствие особых решений дифференциального уравнения

[hochu_no_ne_mogu]

Добрый день. Пожалуйста, помогите разобраться.

Имеется дифференциальное уравнение:
$\sin(x)dy-y\log(y)dx=0$

Взято из учебника "Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (1967)", страница 59.

Автор приводит общее решение:
$y=e^{Ctg(\frac{x}{2})}$

и утверждает, что особых решений нет, а затем дает задание объяснить, почему, собственно, этих особых решений нет.

Но мне как раз кажется, что они есть. В процессе решения мы делим на $\sin(x)$ и $y\log(y)$, т.е. теряем решения $x=0 (y\geqslant0), y=0, y=1$. К второму в каждой точке будут примыкать интегральные кривые из общего решения, первое и третье будут в каждой точке пересекаться с теми же интегральными кривыми, т.е. в каждой точке будет нарушаться условие единственности решения задачи Коши.

[thething]

Особое решение должно в каждой точке касаться другого решения, отличного от данного в сколь угодно малой окрестности. Это помимо того, что особое решение также должно быть и решением исходного уравнения. Так что проверьте условие касания. Если Вы его проверяли (в словах)

hochu_no_ne_mogu в сообщении #1325000 писал(а):

второму в каждой точке будут примыкать интегральные кривые из общего решения, первое и третье будут в каждой точке пересекаться с теми же интегральными кривыми

то распишите, как и будем посмотреть.

[Someone]

hochu_no_ne_mogu в сообщении #1325000 писал(а):

теряем решения $x=0 (y\geqslant0), y=0, y=1$

Что, $y=0$ — тоже решение? А область определения логарифма какая? (Вы имеете в виду натуральный логарифм? Тогда он \ln.) И, кстати, теряется не только $x=0$.

hochu_no_ne_mogu в сообщении #1325000 писал(а):

тверждает, что особых решений нет, а затем дает задание объяснить, почему, собственно, этих особых решений нет.

Но мне как раз кажется, что они есть.

Видимо, каждое из решений надо проверить, является ли оно особым или нет.