Общий случай "Полного доказательства ВТФ методом деления"

[gefestos]

Предлагаемое доказательство есть Общий случай "Полного доказательства Великой теоремы Ферма методом деления", которое является доработанным вариантом статьи "Решение ВТФ методом деления", частью размещённого ранее на сайте.
Автор Ведерников С. И.

Теорема: для целого натурального числа n > 2 уравнение X^n + Y^n = Z^n не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.
Доказательство.
Имеется X^n+Y^n=Z^n, где X, Y, Z, n – натуральные положительные числа. Z > X > Y – взаимно простые числа, n > 2.
Используя исходное уравнение, произведём разложение на множители по формуле разности квадратов, исходя из посыла, что чётное число, имеющее множителем 2^n, при n > 2, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z, X - нечётными числами, а Y – чётным числом. (Доказательство невозможности чётного Z при нечётном n см. Случай 3 полного доказательства.)
Имеем: $X^n+Y^n=Z^n.$ (1)
Возведём левую и правую части формулы в квадрат.
$X^2n+2X^nY^n+Y^2n=Z^2n.$
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
$Z^2n-X^2n=Y^2n+2X^nY^n=Y^n(Y^n+2X^n).$ (2)
Разложим ф. (2) на множители.
$Z^n+Y^n=Y^n+2X^n;$ (3)
$Z^n-X^n=Y^n.$ (4)
(Следует заметить, что ф. (3) можно получить, прибавив $2X^n$ к левой и правой частям формулы (4).)
Поскольку $Y^n$ - чётное число, выразим его как $2^nY_1^n.$
Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом:
$Z^n+X^n=2(2^{n-1}Y_1^n+X^n);$
$Z^n-X^n=2^nY_1^n.$
В соответствии с ф. ф. (4) и (5) ( Случай 1 «Доказательства Великой теоремы Ферма методом деления») множители $Y^n$ и $(Y^n+2X^n)$ формулы (2) не могут иметь общих множителей, кроме одного числа 2, исходя из условия о взаимно простых X, Y, Z . [2] Поэтому остальные множители этих чисел должны быть в степени n. ( См. ф. (6) и ф. (7) ссылка [2].) Рассмотрим этот момент так, как он рассмотрен в Случае 2 «Доказательства».
Примем $Z^n+X^n=2(2^{n-1}Y_1^n+X^n)$ в виде $Z^n+X^n=2Y_2^n,$ где Y_2^n – целое нечётное число в степени n, исходя из того, что целое положительное число можно выразить n – ой степенью другого положительного числа.
Итак, имеем:
$Z^n+X^n=2Y_2^n;$ (5)
$Z^n-X^n=Y^n.$ (6)
Из почленного сложения ф. (5) и ф. (6) имеем:
$2Z^n=2Y_2^n+2^nY_1^n$ или $Z^n=2(Y_2^n+2^{n-1}Y_1^n)/2.$
Откуда: $Z^n=Y_2^n+2^{n-1}Y_1^n.$ (7)
Из почленного вычитания ф. (6) из ф. (5) имеем:
$2X^n=2Y_2^n-2^nY_1^n$ или $X^n=2(Y_2^n-2^{n-1}Y_1^n)/2.$
Откуда: $X^n=Y_2^n-2^{n-1}Y_1^n.$ (8)
Из ф. ф. (7) и (8) видно, что условие о взаимной простоте Z и X выполнимо только при отсутствии общих множителей в числах $Y_2^n$ и $2^{n-1}Y_1^n.$
Перемножим левые и правые части ф.ф. (5) и (6).
$Z^2n-X^2n=2Y_2^nY^n=2(Y_2^nY^n).$ (9)
Примем чётное, имеющее множителем $2^n,$ где n≥3, число $Y_2^nY^n$ как $Y_3^n$. А любое чётное число, имеющее множитель $2^n$ при n > 2 , можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Запишем ф. (8) следующим образом: $Z^2n-X^2n=2Y_3^n.$ (10)
Поскольку числа $Y^2n$ и $X^2n$ являются квадратами чисел $Z^n$ и $X^n$, то в левой части имеется разность квадратов нечётных чисел, а в правой – результат, который должен раскладываться на целые множители в соответствии с левой частью.
Выразим число $Y_3^n$ разностью квадратов чисел A и B.
$Y_3^n=A^2-B^2.$
Запишем ф. (10) следующим образом:
$Z^2n-X^2n=2(A^2-B^2)=(2A^2-2B^2).$ (11)
Разложим на множители левую и правую части ф. (11).
$(Z^n-X^n)(Z^n+X^n)$ ≠ (√(2∙)A - √2∙B)(√2∙A+√2∙B). (12)
Как видно из ф. (12) целочисленные значения её левой части не соответствуют результатам разложения правой части, поскольку правую часть ф. (11) невозможно разложить на целочисленные множители. Отсюда следует, что уравнение $X^n+Y^n=Z^n$ не имеет решения в целых числах.
Рассмотрим ф. (6) и ф. (7) Случай 1 « Доказательства Великой теоремы Ферма методом деления», которые удовлетворяют разложению на множители разности квадратов двух чисел при n кратном 4 для иллюстрации Общего случая. [2] $Z^n-X^n=Y^n.$ $Y^n$ – чётное. $Z^{n/2}+X^{n/2}=2Y_1^n;$ (6a) $Y_1^n$ - нечётное. $Z^{n/2}-X^{n/2}=2^{n-1}Y_2^n.$ (7а)
При этом нужно заметить, что разложение на множители формулы $Z^2-X^2=Y^2,$ соответствующее «пифагоровым тройкам», где $Y^2$ чётное число, даёт результатом один множитель, содержащий только одно число 2, а другой множитель кратен числу 8. Любопытно однако, что чётное число этих троек кратно именно числу 4. Преобразуем правую часть ф. (7а) Преобразуем $2^{n-1}Y_2^n$ следующим образом: $2^{n-1}Y_2^n=(2^nY_2^n)/2=Y_3^n/2.$
Выразим $Y_3^n$ разностью квадратов двух нечётных чисел.
Пусть: $Y_3^n=A^2-B^2.$
Тогда: $(Y_3^n)/2=(A^2-B^2)/2=A^2/2-B^2/2.$ (13)
Разложим ф. (13) на множители:
$A^2/2-B^2/2$ = (A/√2 - B/√2)∙(A/√2 + B/√2). (14) $Z^{n/2}-X^{n/2}=(Z^{n/4}-X^{n/4})(Z^{n/4}+X^{n/4})$ ≠ (A/√(2 ) - B/√2)(A/√2 + B/√2), (14a)
Как видно из ф. (14) и ф. (14а) уравнение $X^n+Y^n=Z^n$ при чётном n, кратном 4, не имеет решения в целых числах.
Для полной ясности с рассматриваемым случаем можно рассмотреть ф.(6a) и ф. (7a) во второй позиции, где сумма $Z^{n/2}+X^{n/2}=2^{n-1}Y_3^n,$ а разность $Z^{n/2}-X^{n/2}=2Y_4^n.$ (15)
Разложим ф. (15) на множители при n, кратном 4.
$(Z^{n/4}-X^{n/4})(Z^{n/4}+X^{n/4})=2Y_4^n.$ (15a)
Поскольку левая часть уравнения (15а) содержит множителем минимум число 8 , а правая только 2 при нечётном Y_4^n, то и в этом случае уравнение $X^n+Y^n=Z^n$ не имеет целочисленных решений.
Приведённое доказательство является приемлемым, для всех трёх случаев «Полного доказательства Великой теоремы Ферма методом деления».

[Shadow]

gefestos в сообщении #1324870 писал(а):

Примем $Z^n+X^n=2(2^{n-1}Y_1^n+X^n)$ в виде $Z^n+X^n=2Y_2^n,$

А с какой радости $Y_2$ должно быть что-то в степени $n$?

[Someone]

По правилам Вы должны сначала изложить полное доказательство для третьей степени. То, что Вы написали в старой теме, за доказательство не сойдёт. Тем более, что Вы там не ответили ни на один из заданных Вам вопросов.

[Pphantom]

gefestos, предупреждение за возобновление ранее закрытой темы. Эта тема также закрыта.