Regula falsi и метод хорд - разные алгоритмы?

[Sasha_Gu]

Возможно, я задаю глупейший вопрос, простите меня, недостойного пожирателя кореньев, но regula falsi и метод хорд/секущих - это разные или одинаковые алгоритмы?

У меня в конспекте они записаны по-разному, но вот читаю интернеты, и кажется одинаковые - даже формула таже самая - https://mathematikalpha.de/numerische-n ... sverfahren . Вот этот учебник, например - https://books.google.de/books?id=T8HhAw ... B5&f=false стр. 200 еще раз это подтверждает

[thething]

Sasha_Gu в сообщении #1324665 писал(а):

У меня в конспекте они записаны по-разному

А приведите, как у Вас записаны и посмотрим

[Sasha_Gu]

thething в сообщении #1324670 писал(а):

А приведите, как у Вас записаны и посмотрим

Метод хорд/секущих:

x_{v+1}=
$\frac{x_{v-1} f(x_v)-x_v f(x_{v-1})}{f(x_v)-f(x_{v-1})}$

Regula falsi:

x_{v}=
$\frac{a_v f(b_v)-b_v f(a_v)}{f(b_v)-f(a_v)}$

1.If f(x_v)f(a_v)>0:a_{v+1}:=x_v, b_{v+1}:=b_v

2.If f(x_v)f(a_v)<0:a_{v+1}:=a_v, b_{v+1}:=x_v

[thething]

Во втором методе строится секущая, проходящая через какой-то из концов интервала на текущем шаге (если под $a$ и $b$ подразумеваются концы). В первом методе секущая проводится через две выбранные точки с координатами $x_{n-1}$ и $x_n$. Так что в принципе одно и то же.

-- 05.07.2018, 20:03 --

Вообще говоря, метод ложного положения, секущих, хорд, линейной интерполяции -- это синонимы

[Sasha_Gu]

thething в сообщении #1324681 писал(а):

Во втором методе строится секущая, проходящая через какой-то из концов интервала на текущем шаге (если под $a$ и $b$ подразумеваются концы). В первом методе секущая проводится через две выбранные точки с координатами $x_{n-1}$ и $x_n$. Так что в принципе одно и то же.

-- 05.07.2018, 20:03 --

Вообще говоря, метод ложного положения, секущих, хорд, линейной интерполяции -- это синонимы

Спасибо Вам огромное! Все стало ясно как божий день! :)

И еще добавлю к последней фразе - и все они/он - модификации метода Ньютона))

[ewert]

Sasha_Gu в сообщении #1324683 писал(а):

- и все они/он - модификации метода Ньютона))

И не все.

Метод секущих может рассматриваться как некий конечноразностный вариант метода Ньютона. С проистекающими из этого достоинствами и недостатками. Достоинство в том, что он не требует вычисления производных -- и при этом сохраняет квадратичную скорость сходимости. Но за всё в этом мире приходится расплачиваться, увы. Конкретно в случае секущих -- этот метод разваливается по мере приближения к корню, и с этим приходится и считаться, и бороться.

В случае метода хорд всё наоборот. Он надёжен абсолютно, но и скорость его сходимости -- всего лишь линейная, увы.

[Sasha_Gu]

ewert в сообщении #1324692 писал(а):

В случае метода хорд всё наоборот. Он надёжен абсолютно, но и скорость его сходимости -- всего лишь линейная, увы.

Вы имели ввиду regula falsi (т.к.он линейный по сходимости)? У меня в конспекте написано, что есть модификации, которые сходятся быстрее (в английской вики они описаны - The Illinois algorithm, Anderson-Björk's algorithm - https://en.wikipedia.org/wiki/False_position_method)

Вернее, в первом разделе в вики описан сам алгоритм, во втором, как выбирать фактор на который домножаем.

Есть еще некий Pegasus algorithm.

[thething]

Sasha_Gu
Методом хорд обычно называют модификацию метода секущих (в случае, когда известна какая-то выпуклость функции), когда секущая постоянно проводится через какой-то конец интервала, в котором точно лежит корень. Этим обеспечивается монотонное, хотя и медленное приближение к корню. Хотя иногда в литературе специально понятие "метод хорд" не выделяется, а просто говорится, что вот есть ещё такой вариант метода секущих.

[ewert]

Sasha_Gu в сообщении #1324699 писал(а):

Вы имели ввиду regula falsi (т.к.он линейный по сходимости)?

Нет, конечно (у меня знакомство с латынью вообще ограничено лишь примерно пятью всем известными словами).

Я имел в виду метод секущих и метод хорд (хотя в отечественной литературе эти термины тоже любят смешивать, но всё же не так, как по Вашей ссылке, где учёные суть истинные бритты -- на сколько-то там сотен строк умудрились растянуть примерно полтора высказывания).

Метод секущих -- действительно есть некоторая модификация метода Ньютона, т.к. спуск на абсциссы осуществляется секущей по более-менее наобум взятым двум предыдущим приближениям; и поскольку по ходу алгоритма эти приближения сближаются (если повезёт, конечно) -- секущие мало отличаются от касательных. В этом и родство.

Метод же хорд не имеет с Ньютоном ничего общего. Это -- лишь попытка оптимизировать метод половинного деления (или дихотомии, если приспичит выразиться). И там, и там поддерживается (и необходима изначально) локализация корня -- фиксация промежутка, на котором функция меняет знак. Модификация состоит в том, что вместо тупого деления пополам выбирается точка пересечения с хордой, соединяющей две предыдущие крайние точки. И если повезёт -- если начальная локализация удачна -- то на этом действительно можно немного выиграть в скорости.

Ну а если не повезёт -- запросто можно и проиграть. О чём, кстати, по Вашей ссылке честно говорится, надо отдать должное авторам. Всё-ж таки учёные, пусть и британские. Это как раз одна из тех примерно полутора мыслей.

[Sasha_Gu]

thething в сообщении #1324705 писал(а):

Sasha_Gu
Методом хорд обычно называют модификацию метода секущих (в случае, когда известна какая-то выпуклость функции), когда секущая постоянно проводится через какой-то конец интервала, в котором точно лежит корень. Этим обеспечивается монотонное, хотя и медленное приближение к корню. Хотя иногда в литературе специально понятие "метод хорд" не выделяется, а просто говорится, что вот есть ещё такой вариант метода секущих.

Спасибо! Буду знать. Мой преподаватель не разделял эти методы. Меня запутала вот эта статья в вики - https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 1%80%D0%B4, где озаглавленная метод хорд, но все что внутри написано под названием "метод секущих". В учебнике, которым я пользуюсь описан только метод секущих.

-- 05.07.2018, 18:34 --

ewert в сообщении #1324711 писал(а):

Sasha_Gu в сообщении #1324699 писал(а):

Вы имели ввиду regula falsi (т.к.он линейный по сходимости)?

Нет, конечно (у меня знакомство с латынью вообще ограничено лишь примерно пятью всем известными словами).

Я имел в виду метод секущих и метод хорд (хотя в отечественной литературе эти термины тоже любят смешивать, но всё же не так, как по Вашей ссылке, где учёные суть истинные бритты -- на сколько-то там сотен строк умудрились растянуть примерно полтора высказывания).

Метод секущих -- действительно есть некоторая модификация метода Ньютона, т.к. спуск на абсциссы осуществляется секущей по более-менее наобум взятым двум предыдущим приближениям; и поскольку по ходу алгоритма эти приближения сближаются (если повезёт, конечно) -- секущие мало отличаются от касательных. В этом и родство.

Метод же хорд не имеет с Ньютоном ничего общего. Это -- лишь попытка оптимизировать метод половинного деления (или дихотомии, если приспичит выразиться). И там, и там поддерживается (и необходима изначально) локализация корня -- фиксация промежутка, на котором функция меняет знак. Модификация состоит в том, что вместо тупого деления пополам выбирается точка пересечения с хордой, соединяющей две предыдущие крайние точки. И если повезёт -- если начальная локализация удачна -- то на этом действительно можно немного выиграть в скорости.

Ну а если не повезёт -- запросто можно и проиграть. О чём, кстати, по Вашей ссылке честно говорится, надо отдать должное авторам. Всё-ж таки учёные, пусть и британские. Это как раз одна из тех примерно полутора мыслей.

Спасибо. А казалось, вот распутался клубок... Половинное деление - это бисекция? А regula falsi по-русски будет метод ложного положения - нашла в учебнике, этот же учебник (Амосов и др. "Вычислительные методы для инженеров" 1994г.)утверждает, что сие - модификация метода Ньютона.

[ewert]

Sasha_Gu в сообщении #1324726 писал(а):

Меня запутала вот эта статья в вики - https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 1%80%D0%B4 ,

Бездарная статья абсолютно. Тут наши учёные переплюнули даже и пресловутых британских. Во-первых, абсолютное занудство вывода метода собственно секущих (всё геометрически гораздо тривиальнее, а у них там ещё и никому не нужные системы уравнений). Во-вторых, даже никакого намёка на обоснование сверхлинейности (а ведь факт-то идеен, можно б хоть чуток, но намекнуть). В-третьих, в методе хорд ничего не сказано о выборе следующего приближения, а оно принципиально.

Короче -- наши учёные тут сильно переплюнули. Хотя, конечно -- это ещё как сказать, насколько они наши.

[Sasha_Gu]

ewert в сообщении #1324727 писал(а):

Sasha_Gu в сообщении #1324726 писал(а):

Меня запутала вот эта статья в вики - https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 1%80%D0%B4 ,

Бездарная статья абсолютно. Тут наши учёные переплюнули даже и пресловутых британских. Во-первых, абсолютное занудство вывода метода собственно секущих (всё геометрически гораздо тривиальнее, а у них там ещё и никому не нужные системы уравнений). Во-вторых, даже никакого намёка на обоснование сверхлинейности (а ведь факт-то идеен, можно б хоть чуток, но намекнуть). В-третьих, в методе хорд ничего не сказано о выборе следующего приближения, а оно принципиально.

Короче -- наши учёные тут сильно переплюнули. Хотя, конечно -- это ещё как сказать, насколько они наши.

Поняла. Выводы сделала. Буду смотреть в книжки.

[ewert]

Sasha_Gu в сообщении #1324726 писал(а):

этот же учебник (Амосов и др. "Вычислительные методы для инженеров" 1994г.)утверждает, что сие - модификация метода Ньютона.

Ну даже инженерАм не следует врать. Даже Амосову и др. Тем более инженерАм -- они ведь склонны иногда думать.

Хотя не могу исключить, что это -- некоторая аберрация.[/off]

[Sasha_Gu]

Вот вам крест) с113 - http://www.rk5.msk.ru/Knigi/ChMet/Amosov.pdf параграф "Модификации метода Ньютона"

[ewert]

Спасибо, принял в коллекцию (любые последовательные тексты всегда небесполезны). Однако про хорды и тем более бисекции (прошу прощения, модераторы) в том параграфе -- ни гу-гу.