* доказать равенство

[Kornelij]

Есть такие три числовые последовательности:
$x(j)=(\frac{-1}{2})^j \sum\limits_{k=0}^{j}\binom{-1.5}{k}\binom{-2.5}{j-k}(\frac{1}{2})^k$
$y(j)=\frac{1}{9}\sum\limits_{k=0}^{j}(\frac{2}{9})^n(2x(j-n)+\frac{j-n+1}{2}x(j-n+1))$
$z(j)=\frac{3}{25}\sum\limits_{k=0}^{j-1}y(j-n-1)(\frac{2}{5})^n$
Как доказать, что для $j\geqslant1$ имеет место

$(2+\frac{j}{2})x(j)=\frac{32}{5}y(j)+3z(j)$ ?

Прямая подстановка равно как и метод мат. индукции ничего хорошего не дают.
На всякий случай проверил правильность утверждения численно - да, это соотношение имеет место.

[alisa-lebovski]

Может, как-нибудь методом производящих функций?

[kotenok gav]

Что такое $n$?

[Kornelij]

alisa-lebovski в сообщении #1324612 писал(а):

Может, как-нибудь методом производящих функций?

Пробовал, но безрезультатно :(

-- Чт июл 05, 2018 18:24:42 --

kotenok gav в сообщении #1324615 писал(а):

Что такое $n$?

Этот тот же индекс $k$ - сейчас подправлю формулу:
$x(j)=(\frac{-1}{2})^j \sum\limits_{k=0}^{j}\binom{-1.5}{k}\binom{-2.5}{j-k}(\frac{1}{2})^k$
$y(j)=\frac{1}{9}\sum\limits_{n=0}^{j}(\frac{2}{9})^n(2x(j-n)+\frac{j-n+1}{2}x(j-n+1))$
$z(j)=\frac{3}{25}\sum\limits_{n=0}^{j-1}y(j-n-1)(\frac{2}{5})^n$