алгебраическое замыкание и алгебраическое расширение

[beroal]

Цитата:

Предложение 4.1. Для поля $K$ следующие свойства эквивалентны:

(1) единственное алгебраическое расширение $K$ есть само $K$;

(2) в $K[X]$ каждый неприводимый многочлен имеет степень $1$;

(3) каждый непостоянный многочлен в $K[X]$ имеет корень в $K$.

(3) влечёт (1): если $\alpha$ есть алгебраический элемент над $K$, тогда $q=\operatorname{Irr}(\alpha:K)$ имеет корень $r$ в $K$; поэтому $q=X-r$, и $q(\alpha)=0$ даёт $\alpha=r\in K$.

Я не понимаю, как выведено $q=X-r$. Мне кажется, надо делить многочлен, корнем которого является $\alpha$, на $X-r$, пока $r\not =\alpha$. Или есть более простое доказательство?

[vpb]

Пусть $L$ --- любое алгебраическое расширение $K$. Надо доказать, что $L=K$. Пусть $\alpha\in L$ --- произвольный элемент. Существует неприводимый многочлен $q(X)$ над $K$ со старшим коэффициентом $1$, корнем которого является $\alpha$. По (3), он имеет корень в $K$. Но неприводимый многочлен, имеющий корень, непременно должен иметь вид $X-r$, где $r\in K$ --- этот самый корень. Действительно, он должен делиться на $X-r$ по теореме Безу, а ввиду неприводимости частное --- постоянный многочлен ( $1$, если старший коэффициент предполагается $1$).