2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Сообщение30.06.2018, 10:15 
Аватара пользователя


31/08/17
930
Маятник состоит из невесомого жесткого стержня и материальной точки укрепленной на его конце. Точка подвеса маятника совершает колебания вдоль горизонтальной прямой по закону $x=a\sin(\nu t),\quad a,\nu>0.$

Сам маятник может колебаться и вращаться в вертикальной плоскости содержащей эту прямую. Система находится в поле силы тяжести.

Короче говоря, это математический маятник с колеблющейся влево-вправо точкой подвеса. Угол между вертикалью и стержнем обозначим $\varphi$.

Доказать, что для любого целого $k$ существует периодическое движение $\varphi(t),\quad\varphi(t+2\pi/\nu)=\varphi(t)+2\pi k$ такое, что $\varphi(-t)=-\varphi(t).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Сообщение05.07.2018, 12:50 
Заслуженный участник


10/01/16
1739
Уравнение движения имеет вид
$\ddot{\varphi} +A\sin \varphi = B \sin \nu t \cos \varphi $
Решения продолжимы неограниченно.
Пусть $\varphi_v$ - решение с начальными условиями $\varphi_v(0) = 0, \dot{\varphi}_v(0) =v $.
По теореме единственности, из симметричности системы получаем нечетность $\varphi_v$ (и тогда $\dot{\varphi_v}$ - четна).
Пусть $T=\frac{\pi}{\nu}$, $f(v) = \varphi_v (T)$.
Ускорение $\ddot{\varphi}$ равномерно ограничено. Потому для всех достаточно больших (отрицательных) $v$, скорость $\dot{\varphi}_v(t)$ на участке $[0,T]$ достаточно велика (по модулю), так что $f(v)$ достаточно большое (отрицательное). По непрерывной зависимости от начальных условий, отсюда следует, что $f(v) = \pi n$ при некотором $v$ (т.е., $\varphi_v(T) = \pi n$). Но тогда (четность-нечетность) $\varphi_v(-T) = -\pi n$, и $\dot{\varphi}_v(T) =\dot{\varphi}_v(-T) $. И опять - по теореме единственности - получаем, при всех $t$, $\varphi_v(t+2T) =\varphi_v(t) +2 \pi n$ для построенного решения. Что и требовалось....

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Сообщение05.07.2018, 15:05 
Аватара пользователя


31/08/17
930
Я тут собираюсь отчалить на недельку, поэтому пишу второпях. Из вашего рассуждения я пока уловил следующее. Задача решается лишь при больших $|k|$ и утверждение $\dot \varphi_v(T)=v$ не доказано. Или вам надо доказывать, что $\dot \varphi_v(2T)=v$
сейчас не соображу

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Сообщение10.07.2018, 17:27 
Заслуженный участник


10/01/16
1739
Да не, там все нормально...

(Оффтоп)

А задача с шариком в трубке - интересней. И ответ - неожиданный...

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Сообщение13.07.2018, 15:34 
Аватара пользователя


31/08/17
930
DeBill в сообщении #1325702 писал(а):
Да не, там все нормально...

пожалуй что
DeBill в сообщении #1325702 писал(а):
А задача с шариком в трубке - интересней. И ответ - неожиданный...


да, это всетаки про некомпактное конфигурационное пространство теорема. Да число степеней свободы в случае с шариком в трубке всетаки 2, а не 3/2 как в данной задаче

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group