2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Сообщение30.06.2018, 10:15 
Аватара пользователя


31/08/17
1035
Маятник состоит из невесомого жесткого стержня и материальной точки укрепленной на его конце. Точка подвеса маятника совершает колебания вдоль горизонтальной прямой по закону $x=a\sin(\nu t),\quad a,\nu>0.$

Сам маятник может колебаться и вращаться в вертикальной плоскости содержащей эту прямую. Система находится в поле силы тяжести.

Короче говоря, это математический маятник с колеблющейся влево-вправо точкой подвеса. Угол между вертикалью и стержнем обозначим $\varphi$.

Доказать, что для любого целого $k$ существует периодическое движение $\varphi(t),\quad\varphi(t+2\pi/\nu)=\varphi(t)+2\pi k$ такое, что $\varphi(-t)=-\varphi(t).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Сообщение05.07.2018, 12:50 
Заслуженный участник


10/01/16
1839
Уравнение движения имеет вид
$\ddot{\varphi} +A\sin \varphi = B \sin \nu t \cos \varphi $
Решения продолжимы неограниченно.
Пусть $\varphi_v$ - решение с начальными условиями $\varphi_v(0) = 0, \dot{\varphi}_v(0) =v $.
По теореме единственности, из симметричности системы получаем нечетность $\varphi_v$ (и тогда $\dot{\varphi_v}$ - четна).
Пусть $T=\frac{\pi}{\nu}$, $f(v) = \varphi_v (T)$.
Ускорение $\ddot{\varphi}$ равномерно ограничено. Потому для всех достаточно больших (отрицательных) $v$, скорость $\dot{\varphi}_v(t)$ на участке $[0,T]$ достаточно велика (по модулю), так что $f(v)$ достаточно большое (отрицательное). По непрерывной зависимости от начальных условий, отсюда следует, что $f(v) = \pi n$ при некотором $v$ (т.е., $\varphi_v(T) = \pi n$). Но тогда (четность-нечетность) $\varphi_v(-T) = -\pi n$, и $\dot{\varphi}_v(T) =\dot{\varphi}_v(-T) $. И опять - по теореме единственности - получаем, при всех $t$, $\varphi_v(t+2T) =\varphi_v(t) +2 \pi n$ для построенного решения. Что и требовалось....

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Сообщение05.07.2018, 15:05 
Аватара пользователя


31/08/17
1035
Я тут собираюсь отчалить на недельку, поэтому пишу второпях. Из вашего рассуждения я пока уловил следующее. Задача решается лишь при больших $|k|$ и утверждение $\dot \varphi_v(T)=v$ не доказано. Или вам надо доказывать, что $\dot \varphi_v(2T)=v$
сейчас не соображу

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Сообщение10.07.2018, 17:27 
Заслуженный участник


10/01/16
1839
Да не, там все нормально...

(Оффтоп)

А задача с шариком в трубке - интересней. И ответ - неожиданный...

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Сообщение13.07.2018, 15:34 
Аватара пользователя


31/08/17
1035
DeBill в сообщении #1325702 писал(а):
Да не, там все нормально...

пожалуй что
DeBill в сообщении #1325702 писал(а):
А задача с шариком в трубке - интересней. И ответ - неожиданный...


да, это всетаки про некомпактное конфигурационное пространство теорема. Да число степеней свободы в случае с шариком в трубке всетаки 2, а не 3/2 как в данной задаче

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Null


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group