Неравенство от 2n переменных.

[arqady]

Пусть $a_i>0$ и $x_i>0$ так что $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}=1$, где $n\geq2$. Докажите, что:

$$a_1^{x_1}+a_2^{x_2}+...+a_n^{x_n}\geq\frac{(n-1)^{n-1}a_1a_2...a_nx_1x_2...x_n}{(x_1+x_2+...+x_n-n)^{n-1}}.$$

(PS)

Существует доказательство в одну строчку

[novichok2018]

Хоть бы для двух решить.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1323489 писал(а):

Пусть $a_i>0$ и $x_i>0$ так что $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}=1$, где $n\geq2$. Докажите, что:

$$a_1^{x_1}+a_2^{x_2}+...+a_n^{x_n}\geq\frac{(n-1)^{n-1}a_1a_2...a_nx_1x_2...x_n}{(x_1+x_2+...+x_n-n)^{n-1}}.$$

(PS)

Существует доказательство в одну строчку

$$(n-1)\sqrt [n-1]{x_1x_2...x_n}\left (\dfrac {1}{x_1^{n/(n-1)}} +...+\dfrac {1}{z_n^{n/(n-1)}}\right ) \le \dfrac {x_2+...+x_n}{x_1}+ ...+\dfrac {x_1+...+x_n}{x_n} =(x_1+ ...+x_n)-n$$

$$\left (a_1^{x_1}+...+a_n^{x_n} \right) \left ( \dfrac {1}{x_1^{n/(n-1)}}+...+\dfrac {1}{x_n^{n/(n-1)}}} \right ) ^{n-1}\ge \left ( a_1^{\dfrac {x_1}{n} } \dfrac {1}{x_1}+\ ...\ +a_n^{\dfrac {x_n}{n}} \dfrac {1}{x_n}\right )^n \ge {a_1\ ...\ a _n}$$

[arqady]

Замечательно! Это можно записать в одну строчку, конечно.