Критерий Дюбуа-Реймона для функции Римана.

[Andreyich]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться.
Дана функция Римана:

$$f(x)= \begin{cases} 0, &\text {если } x \text{ — иррациональное число;}\\ 1/q, & \text {если } x=p/q \text{, где } p \text{ — целое, } q \text{ — натуральное.} \end{cases} $$

Нужно доказать, что функция Римана интегрируема по Риману, используя критерий Дюбуа-Реймона. Критерий звучит следующим образом:
Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда и только тогда, когда для любого $\alpha > 0$ множество всех тех точек разрыва функции, колебание на которых $\geqslant$ $\alpha$ , имеет жорданову меру нуль, то есть оно может быть заключено в конечную систему интервалов общей сколь угодно малой длины.

Не понимаю, каким образом доказывать. Как доказать, что количество точек разрыва, на которых колебание больше $\alpha$, может быть заключено в конечную систему интервалов общей сколь угодно малой длины?

[Dan B-Yallay]

Andreyich
Является ли эта функция разрывной в иррациональных точках?

[Andreyich]

Данная функция непрерывна во всех иррациональных точках, но разрывна во всех рациональных точках.

[Otta]

Andreyich в сообщении #1323390 писал(а):

что количество точек разрыва

Ну не количество, а

Andreyich в сообщении #1323390 писал(а):

множество

Возьмите какой-нибудь отрезок для определенности. Какой Вам нравится. $[0,2]$, например. И посмотрите, на каких точках разрыва колебание $\ge 1$. Можно ли накрыть их конечной системой интервалов сколь угодно малой длины. Как.
Проделайте то же для $\alpha=1/2$.
Прикиньте, какие еще $\alpha$ принципиально смотреть и что изменится.

Соберите все в кучу. Обобщите.

И формулы исправьте.

----

Контрольные вопросы для начала: какие точки разрыва у этой функции и чему равны колебания в каждой из них?

[Dan B-Yallay]

Andreyich в сообщении #1323401 писал(а):

Данная функция непрерывна во всех иррациональных точках, но разрывна во всех рациональных точках.

Верно. Дальше мой ход подсказок совпадает с предложениями ув. Otta, поэтому следуйте её советам.

[Andreyich]

Спасибо огромное, ход идеи понял. Буду пытаться решить =)