Совместная плотность непрерывных и дискретных величин

[el fray]

Добрый день.
Наткнулся на описание совместной плотности распределения для непрерывных и дискретных случайных величин: https://en.wikipedia.org/wiki/Joint_probability_distribution#Mixed_case
$X$ - непрерывная случайная величина, а $Y$ - дискретная:
$f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x|y)P(Y=y)=P(Y=y|X=x)f_X(x)$

Не могу понять, как вывести эти выражения. Даже если рассматривать упрощённый случай, когда $X$ и $Y$ независимы :
$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)=F_X(x)\sum\limits_{y_i \leqslant y} P(Y=y_i)$

Каким образом отсюда можно получить $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)P(Y=y)$?

[ewert]

Да никак. О плотности в принципе здесь говорить не приходится, если только не приплесть обобщённые функции. Но выражение $P(Y=y)$ на дельта-функцию никак не тянет.

[--mS--]

Обычная плотность относительно произведения лебеговой меры $\lambda(\cdot)$ и считающей $\#(B)=\sum\limits_i \mathbf{1}(y_i\in B)$ на множестве значений $Y$.

$$ \int\limits_{-\infty}^{y} P(Y=s) \#(ds) = \sum \limits_{y_i \leqslant y} P(Y=y_i). $$

$$ F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)=F_X(x)\sum\limits_{y_i \leqslant y} P(Y=y_i) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t) \lambda(dt) \int\limits_{-\infty}^y P(Y=s) \#(ds). $$

Формулы для совместной плотности зависимых величин получаются из определения условной вероятности.

[el fray]

Спасибо за объяснение.