Равнозначны ли понятия "решение" и "корень" уравнения?

[bssgrad]

Добрый день.
Если в уравнении (системе уравнений) имеется только одна переменная, то очевидно, что данные понятия могут применяться как равнозначные.
А вот, например, для системы уравнений с 2-мя переменными обычно используют понятие "решение", а не "корень": "Решениями системы уравнений с двумя переменными являются все пара значений переменных, обращающие все уравнения системы в верные числовые равенства: $(x,y)$".
Правильно ли говорить о корнях такой системы, и равнозначно ли тогда понятие корня понятию решения?

[ewert]

bssgrad в сообщении #1322628 писал(а):

Правильно ли говорить о корнях такой системы, и равнозначно ли тогда понятие корня понятию решения?

Для одного уравнения -- более-менее однозначны. Правда, есть нюанс: если корней несколько, то можно говорить о наличии нескольких решений, а можно называть решением совокупность корней; поэтому термин "корень" предпочтительнее. Для системы можно было бы, в принципе, договориться о том же, только никто этого не делает -- под корнями все понимают числа, но никак не векторы. Вопрос чисто лингвистический.

[bssgrad]

Спасибо за ответ.

[Munin]

ewert в сообщении #1322629 писал(а):

под корнями все понимают числа, но никак не векторы.

Если уравнение комплексное, то корнями будут комплексные числа, которые можно представлять себе как векторы на плоскости.

Ещё немного информации: решения бывают у функциональных уравнений, например, у дифференциальных. Решением такого уравнения будет не число, а функция. Например, у уравнения $\tfrac{dy}{dx}=y$ решениями будут разнообразные функции $y=Ce^x$ при различных значениях параметра $C\in\mathbb{R}.$ Слово "корни" здесь не употребляется.

Зато слово "корни" употребляется применительно не к уравнениям $f(x)=0,$ а применительно к самим функциям $f(x),$ и означает точки $x,$ в которых эта функция обращается в ноль. Ещё говорят в том же значении "нули функции". Слово "корень" более алгебраическое, например, оно используется для рассуждений о корнях многочленов: бывают кратные корни, и так далее. Если рассматриваются уравнения от двух и более переменных, то их можно представить в виде $f(x,y)=0,$ и говорить о каждой отдельной точке $(x,y),$ в которой это равенство выполняется, как о "нуле" функции $f(x,y).$