Эллипс

[ihq.pl]

Доброго времени суток! Столкнулся с такой проблемой. Кривая задана параметрически уравнениями

$$ x(\alpha) = \frac{a_1\cos\alpha + a_2\sin\alpha + a_3}{c_1\cos\alpha + c_2\sin\alpha + 1},$$ $$y(\alpha) = \frac{b_1\cos\alpha + b_2\sin\alpha + b_3}{c_1\cos\alpha + c_2\sin\alpha + 1}.$$

Знаменатель в правых частях положительный для всех значений $\alpha \in [0,\pi]$. Надо представить кривую в виде $P(x,y)=0$, $P(x,y)$ - многочлен степени 2 с постоянными коэффициентами. Пробовал, не получается. Можно ли вообще сделать это в общем виде, или нужны какие-то дополнительные условия для коэффициентов $a_i, b_i$? Пока известно только, что они не равны нулю, и что кривая точно эллипс. Заранее спасибо.

[Mihr]

Попробуйте рассмотреть эти два уравнения как систему уравнений относительно косинуса и синуса. То есть, выразите косинус и синус из этой системы уравнений. А затем воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством. Вероятно, после упрощения получится то, что нужно.

[ihq.pl]

Гениально.. действительно, так должно получиться. Заклинило не на шутку:)) Пробую... Спасибо!

[Pphantom]

Это линейная система уравнений относительно $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$, причем ее решение должно быть двумя отношениями многочленов первого порядка относительно $x$ и $y$ с одинаковым знаменателем). Тогда сумма квадратов синуса и косинуса как раз и должна дать искомое выражение.

Кстати, вот это:

ihq.pl в сообщении #1322575 писал(а):

что кривая точно эллипс

само по себе условие на коэффициенты. По идее, в общем случае получится общая же кривая второго порядка.

[Munin]

Я по-другому подумал (не довёл до конца).

Знаменатель в обеих дробях одинаковый. Представим его как функцию угла $D=D(\alpha),$ и найдём обратную функцию $\alpha=D^{-1}(D).$ Это будет функция с единственным арккосинусом или арксинусом снаружи.

Потом её подставляем в числители, и вся тригонометрия уходит, остаётся только алгебраический параметрический вид.

[ewert]

Pphantom в сообщении #1322587 писал(а):

По идее, в общем случае получится общая же кривая второго порядка.

ihq.pl в сообщении #1322575 писал(а):

Знаменатель в правых частях положительный для всех значений $\alpha \in [0,\pi]$.

Т.е. кривая ограничена (т.к. наверняка имелось в виду $2\pi$ -- при чём тут $\pi$-то?).

[Pphantom]

ewert в сообщении #1322616 писал(а):

Т.е. кривая ограничена (т.к. наверняка имелось в виду $2\pi$ -- при чём тут $\pi$-то?).

Да, логично.

[ihq.pl]

конечно, имелось в виду $2\pi$. Сорри.
Всё замечательно получилось. Еще раз большое спасибо:)