Задача 13 а) из I тома мат. анализа Зорича, глава IV

[Paul Ivanov]

Задача в моей интерпретации звучит так:
Дана непрерывная функция $f:[a,b] \to \mathbb{R}$.
Существует многочлен $P_n(x)$ степени $n$, такой, что для него найдутся $n+2$ точки $\left\lbrace x_1,x_2,...,x_{n+2}\right\rbrace\subset[a,b]$, $x_1<x_2<...<x_{n+2}$ (чебышёвский альтернанс),
для которых выполнено следующее: $f(x_i)-P_n(x_i)=(-1)^i\times\Delta(P_n)\times\alpha$, где $\alpha$ - константа, равная $1$ или $-1$,
а $\Delta(P_n)$ - расстояние между функциями $P_n(x)$ и $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ (если что, то $\Delta(P_n) = \sup\limits_{x\in[a,b]}\left\lvert f(x)-P_n(x)\right\rvert$)
Нужно доказать, что в этом случае $P_n$ - единственный многочлен наилучшего приближения для $f$ (то есть, расстояние между $P_n(x)$ и $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ - минимально и среди всех многочленов степени $n$ достигается только многочленом $P_n$.
То, что $P_n$ - многочлен наилучшего приближения (первая часть задачи) я уже доказал. А вот с единственностью разобраться что-то не получается.
Основная идея следующая: пойти от противного, тогда существует другой многочлен наилучшего приближения $Q_n(x)\ne P_n(x)$. Остаётся только показать, что многочлен $P_n(x)-Q_n(x)$ имеет как минимум n+1 корень, что, возможно только тогда, когда $P_n(x)\equiv Q_n(x)$. Проблема в том, что в случае с доказательством единственности в отличие от первой части задачи возможно такое, что $f(x)-P_n(x)=f(x)-Q_n(x)=\pm\Delta(P_n)$ и тогда получается, что тот факт, что на каждом отрезке вида $[x_i,x_{i+1}]$ имеется точка $x$, для которой верно, что $P_n(x)=Q_n(x)$, ничего не даёт, так как, например, на двух отрезках $[x_i,x_{i+1}]$ и $[x_{i+1},x_{i+2}]$ вроде как может быть всего одна единственная точка $x=x_{i+1}$ в которой достигается равенство $P_n(x)=Q_n(x)$.
Подскажите, как можно обойти эту сложность или может есть другой более элегантный способ решения?

[ewert]

Там есть некий принципиальный момент: если есть два многочлена наилучшего приближения, то и их полусумма -- тоже многочлен наилучшего приближения. Тут чебышёвость пока что не при чём -- это общее свойство нормы. И если норма нестрогая, то таких элементов и впрямь может быть много. А равномерная норма -- нестрогая, увы.

Но, к счастью, мы приближаем именно многочленами. И если взять какой-либо альтернанс именно для полусуммы -- значения тех двух исходных многочленов в точках этого альтернанса вынужденно совпадают со значениями полусуммы; в любом другом случае значения полусуммы до плюс-минус нормы в этих точках не дотягивались бы. В итоге для исходных многочленов есть даже эн плюс две точки совпадения, в то время как для их совпадения всюду хватило бы и совпадения в эн плюс одной точке.

-- Вс июн 24, 2018 23:49:05 --

Да, пардон:

Paul Ivanov в сообщении #1322353 писал(а):

То, что $P_n$ - многочлен наилучшего приближения (первая часть задачи) я уже доказал.

Это -- одна из трёх, а не двух частей задачи, и она довольно очевидна: это следствие очень простой теоремы Валле-Пуссена.

Второй частью является обратное утверждение (собственно теорема Чебышёва): если многочлен наилучший, то для него непременно существует альтернанс. И вот это уже довольно занудно. Т.е. идея-то там довольно проста, но формально корректной и при этом лаконичной её реализации мне как-то не попадалось. Везде какое-то занудство (в т.ч. и в моих собственных попытках вульгаризации).

И лишь третьей частью -- после первых двух -- будет теорема о единственности. Во всяком случае, при естественном порядке изложения.

[Paul Ivanov]

ewert в сообщении #1322379 писал(а):

Но, к счастью, мы приближаем именно многочленами. И если взять какой-либо альтернанс именно для полусуммы -- значения тех двух исходных многочленов в точках этого альтернанса вынужденно совпадают со значениями полусуммы; в любом другом случае значения полусуммы до плюс-минус нормы в этих точках не дотягивались бы. В итоге для исходных многочленов есть даже эн плюс две точки совпадения, в то время как для их совпадения всюду хватило бы и совпадения в эн плюс одной точке.

Непонятно, почему для полусуммы исходных многочленов наилучшего приближения вообще найдутся $n+2$ точки чебышевского альтернанса?

[ewert]

Paul Ivanov в сообщении #1322457 писал(а):

Непонятно, почему для полусуммы исходных многочленов наилучшего приближения вообще найдутся $n+2$ точки чебышевского альтернанса?

Потому, что

ewert в сообщении #1322379 писал(а):

если есть два многочлена наилучшего приближения, то и их полусумма -- тоже многочлен наилучшего приближения.

А у наилучшего приближения всегда есть альтернанс, согласно нетривиальной части теоремы Чебышёва.