2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение23.06.2018, 14:53 


21/09/13
17
Помогите разобраться! Знаю ,что есть какой-то общий метод ,но не знаю какой . Домножение на что-либо никак не помогает
$

$\dfrac{\sqrt[3]{5}+2}{\sqrt[3]{25}+3\sqrt[3]{5}-2}$


$

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение23.06.2018, 15:00 
Аватара пользователя


21/06/18
328
MariaKh
Разложите на множители (кв. трехчлен относительно $5^{\frac{1}{3}}$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение23.06.2018, 15:01 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Общего нет. Попробуйте $t=\sqrt[3]5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение23.06.2018, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Последуйте совету follow_the_sun.
1) Обозначьте $x=\sqrt[3]{5}$. Знаменатель превратится в квадратный трёхчлен относительно $x$. Найдите его корни $x_1$ и $x_2$ (иррациональных корней не пугайтесь). Зная корни, разложите знаменатель на множители: $(x-x_1)(x-x_2)$; вместо $x$ опять напишите $\sqrt[3]{5}$.
2) Чтобы избавиться от множителя вида $\sqrt[3]{5}-x_k$, $k=1,2$, нужно домножить числитель и знаменатель дроби на соответствующий неполный квадрат суммы. Это позволяет избавиться от корней третьей степени в знаменателе.
3) Как избавиться от оставшихся в знаменателе квадратных корней, Вы должны знать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение23.06.2018, 16:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822

(Оффтоп)

По-моему, проще методом неопределённых коэффициентов: записать $\dfrac{\sqrt[3]{5}+2}{\sqrt[3]{25}+3\sqrt[3]{5}-2}=x_0+x_1\sqrt[3]{5}+x_2\sqrt[3]{25}$, домножить на знаменатель и получить систему из трёх линейных уравнений от трёх неизвестных $x_0,x_1,x_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение23.06.2018, 16:01 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
Вам нужен многочлен $v(x)$, такой что $v(\alpha) = 1/h(\alpha)$.

Ищете сперва многочлен $p(x) $, такой что $p(\alpha)=0$ и $\text{НОД}(h(x),p(x))=1$.

Тогда $\exists u,v : h \cdot v+p  \cdot u=1$. Ясно, что тогда $h(\alpha)\cdot v(\alpha) = 1$, значит $v(\alpha)$ это ваш ответ, просто и единообразно.

PS Возможно, вам удобно будет взять $\alpha = \sqrt[3]{5}$, но необязательно именно его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение23.06.2018, 21:55 


08/10/10
50
iifat в сообщении #1322008 писал(а):
Общего нет.

Как сие понимать?
MariaKh в сообщении #1322005 писал(а):
Домножение на что-либо никак не помогает

Можно домножить на ${\left(\sqrt[3]{25}\epsilon ^2+3\sqrt[3]{5}-2\right)\left(\sqrt[3]{25}\epsilon +3\sqrt[3]{5}\epsilon ^2-2\right)}$, где $\epsilon$ - комплексное число, удовлетворяющее равенству $\epsilon ^2+\epsilon+1=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение24.06.2018, 00:45 


23/11/09
173
Еще можно воспользоваться известным разложением $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
Это сразу решает задачу в общем виде для $\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}$
А совсем в общем как доказать что в $\dfrac{1}{\sqrt[a_1]{b_1}+\sqrt[a_2]{b_2}+...+\sqrt[a_n]{b_n}}$ можно избавиться от иррациональности в знаменателе.
То есть числа вида $\sqrt[a_1]{b_1}+\sqrt[a_2]{b_2}+...+\sqrt[a_n]{b_n}$ образуют поле. Есть ли алгоритм нахождения обратного элемента?

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение24.06.2018, 00:52 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
deep blue в сообщении #1322165 писал(а):
То есть числа вида $\sqrt[a_1]{b_1}+\sqrt[a_2]{b_2}+...+\sqrt[a_n]{b_n}$ образуют поле. Есть ли алгоритм нахождения обратного элемента?

Числа такого вида поле не образуют, там еще кое-что добавить надо. Читайте книжки, простейшая из них
Л.Калужнин, Введение в общую алгебру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение24.06.2018, 01:04 


21/09/13
17
eugensk в сообщении #1322018 писал(а):
Вам нужен многочлен $v(x)$, такой что $v(\alpha) = 1/h(\alpha)$.

Ищете сперва многочлен $p(x) $, такой что $p(\alpha)=0$ и $\text{НОД}(h(x),p(x))=1$.

Тогда $\exists u,v : h \cdot v+p  \cdot u=1$. Ясно, что тогда $h(\alpha)\cdot v(\alpha) = 1$, значит $v(\alpha)$ это ваш ответ, просто и единообразно.

PS Возможно, вам удобно будет взять $\alpha = \sqrt[3]{5}$, но необязательно именно его.



вот именно так нам рассказывал преподаватель, но пример никакой мы так и не разобрали ... поэтому все равно не особо понятно
Что брать за $  p(x)  $ ? Например $ x^2$ -\sqrt[3]{5}x
$ или $ x^6 -5x^3 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение24.06.2018, 01:14 


23/11/09
173

(Оффтоп)

vpb А Винберг пойдет в качестве замены Калужнина? Или у него не так обстоятельно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение24.06.2018, 02:31 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
Всё произвольно, главное чтобы был ноль в альфа, если нод будет не 1, поделите на него. (ясно что и после такого деления будет ноль в альфа, а почему?) Но чем большей степени многочлен p возьмете, тем дольше вам придется вычислять u и v. Расширенный алгоритм Евклида помните?

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение24.06.2018, 14:15 


21/09/13
17
eugensk
Тогда $p(x)$ проще взять $x-\sqrt[3]{5}$
Да вроде бы помню,но как сюда его применить не пойму . Что на что делить надо не пойму, или мы просто подобрать как-то должны $u$ и $v$

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение24.06.2018, 14:43 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
Если не совсем помните, то посмотрите еще раз -- подбирать ничего не надо, пока ищете нод (расширенным алгоритмом Евклида), u и v вычислятся параллельно. Уже пора посчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение24.06.2018, 15:34 


21/09/13
17
НОД чего искать? У нас ведь кроме $p(x)$ ничего не известно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group