Инвариант пифагоровых троек

[serval]

По крайней мере для некоторых примитивных пифагоровых троек $a^2+b^2=c^2$ выполняется равенство

$\frac{(c-a)+b}{a}=\text{НОД}\ (c-a,b)$

Выполняется ли оно для всех примитивных пифагоровых троек?

P.S. Исправлено. Оговорена примитивность пифагоровых троек.

[kotenok gav]

6, 8, 10 - контрпример.

-- 23 июн 2018, 03:13 --

А для 12, 5, 13 левая часть вообще не целая. На каких "некоторых" вы проверяли свою гипотезу?

[serval]

Вообще-то, нет. $6,8,10$ это пифагорова тройка, но не примитивная. Для соответствующей примитивной тройки равенство выполняется.

Но вы правы, я не полностью определил условие.

Указанное равенство выполняется для примитивных пифагоровых троек.

-- Пт июн 22, 2018 19:54:23 --

Для $5,12,13$ имеем

$\frac{(13-5)+12}{5}=\frac{(8+12)}{5}=\frac{20}{5}=4=\text{НОД}\ (13-5,12)=\text{НОД}\ (8,12)$

Все в порядке.

[ex-math]

Для пифагоровых троек есть явная параметризация. Надо подставить и посмотреть.

[grizzly]

serval в сообщении #1321873 писал(а):

Выполняется ли оно для всех примитивных пифагоровых троек?

Как же оно может выполняться для всех троек, если справа всегда целое число, а слева не обязательно?
33 56 65

[serval]

Да, не выполняется. Спасибо за контрпример. Это значит, что дело еще интереснее.

[serval]

Но и в этом контрпримере просвечивает закономерность.

$k((c-a)/\text{НОД}\ (c-a,b)+b/\text{НОД}\ (c-a,b))=a$ где $k$ - натуральное.

Нужна статистика контрпримеров. Буду искать.

[grizzly]

serval в сообщении #1321905 писал(а):

Буду искать.

Да что ж там искать? Вы слышали этот совет:

ex-math в сообщении #1321877 писал(а):

Для пифагоровых троек есть явная параметризация. Надо подставить и посмотреть.

Подставьте $c-a=m^2+n^2-(m^2-n^2)=2n^2$, $b=2mn$. Нет ничего странного в том, что $2n(m+n)$ имеет общие множители и с $(m-n)(m+n)$, а $2n^2$ с $2mn$.