2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Инвариант пифагоровых троек
Сообщение22.06.2018, 20:38 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
По крайней мере для некоторых примитивных пифагоровых троек $a^2+b^2=c^2$ выполняется равенство

$\frac{(c-a)+b}{a}=\text{НОД}\ (c-a,b)$

Выполняется ли оно для всех примитивных пифагоровых троек?

P.S. Исправлено. Оговорена примитивность пифагоровых троек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариант пифагоровых троек
Сообщение22.06.2018, 20:42 


21/05/16
4292
Аделаида
6, 8, 10 - контрпример.

-- 23 июн 2018, 03:13 --

А для 12, 5, 13 левая часть вообще не целая. На каких "некоторых" вы проверяли свою гипотезу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариант пифагоровых троек
Сообщение22.06.2018, 20:49 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Вообще-то, нет. $6,8,10$ это пифагорова тройка, но не примитивная. Для соответствующей примитивной тройки равенство выполняется.

Но вы правы, я не полностью определил условие.

Указанное равенство выполняется для примитивных пифагоровых троек.

-- Пт июн 22, 2018 19:54:23 --

Для $5,12,13$ имеем

$\frac{(13-5)+12}{5}=\frac{(8+12)}{5}=\frac{20}{5}=4=\text{НОД}\ (13-5,12)=\text{НОД}\ (8,12)$

Все в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариант пифагоровых троек
Сообщение22.06.2018, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Для пифагоровых троек есть явная параметризация. Надо подставить и посмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариант пифагоровых троек
Сообщение22.06.2018, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
serval в сообщении #1321873 писал(а):
Выполняется ли оно для всех примитивных пифагоровых троек?
Как же оно может выполняться для всех троек, если справа всегда целое число, а слева не обязательно?
33 56 65

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариант пифагоровых троек
Сообщение22.06.2018, 21:27 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Да, не выполняется. Спасибо за контрпример. Это значит, что дело еще интереснее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариант пифагоровых троек
Сообщение22.06.2018, 23:31 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Но и в этом контрпримере просвечивает закономерность.

$k((c-a)/\text{НОД}\ (c-a,b)+b/\text{НОД}\ (c-a,b))=a$ где $k$ - натуральное.

Нужна статистика контрпримеров. Буду искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариант пифагоровых троек
Сообщение22.06.2018, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
serval в сообщении #1321905 писал(а):
Буду искать.
Да что ж там искать? Вы слышали этот совет:
    ex-math в сообщении #1321877 писал(а):
    Для пифагоровых троек есть явная параметризация. Надо подставить и посмотреть.
Подставьте $c-a=m^2+n^2-(m^2-n^2)=2n^2$, $b=2mn$. Нет ничего странного в том, что $2n(m+n)$ имеет общие множители и с $(m-n)(m+n)$, а $2n^2$ с $2mn$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group