Законы де Моргана для кванторов второго порядка

[kernel1983]

Справедливы ли законы $\ \neg \forall P P(x) \simeq \exists P \neg P(x) $, $\ \neg \exists P P(x) \simeq \forall P \neg P(x) $? Если да, то как подобраться к их доказательству? Как доказываются аналогичные для кванторов первого порядка, я знаю. Спасибо.

[george66]

Доказывается так же, как для кванторов первого порядка. Например, докажем
$\neg\exists P P(x)\to\forall P\neg P(x)$
Предположим, что верна посылка
$\neg\exists P P(x)
Предположим, что
$ P(x)$
(здесь $P$ - свободная переменная). Тогда
$\exists P P(x)
Получили противоречие с посылкой, поэтому доказали
$ \neg P(x)$
Поскольку $P$ - свободная переменная, можно навесить квантор всеобщности
$\forall P\neg P(x)$

-- 19.06.2018, 21:37 --

Правда, сами "законы" выглядят странно. Что это за $x$, для которого $\forall P\neg P(x)$? Для этого $x$ все свойства неверны?

[kernel1983]

george66 , спасибо. Надо осмыслить. Наверное, вместо $P(x)$ нужно писать $F(P)$.

[george66]

Пишите $\varphi(P)$, тогда
$\neg\exists P\varphi(P)\Leftrightarrow\forall P\neg\varphi(P)$
и если логика классическая, то
$\neg\forall P\varphi(P)\Leftrightarrow\exists P\neg\varphi(P)$

[Dan B-Yallay]

george66 в сообщении #1321203 писал(а):

Что это за $x$, для которого $\forall P\neg P(x)$? Для этого $x$ все свойства неверны?

То, что "все свойства неверны" -- это ведь тоже свойство?

[arseniiv]

Тут за противоречием далеко ходить не надо: для каждого свойства его отрицание тоже свойство.