На мой взгляд, случайность чаще всего понимают в двух смыслах:
1. Элементы выборки
независимые и одинаково распределённые случайные величины.
2. (Для случая дискретных случайных величин. Частный случай пред.) Элементы выборки независимые и одинаково полиномиально распределённые случайные, вероятности всех значений случайной величины равны. *)
Если известно, что элементы выборки независимые и одинаково распределённые случайные величины, то для проверки гипотезы о равенстве вероятностей (
каждого значения всех значений) можно использовать критерий
. Для малых объёмов выборки распределение статистики легко вычислить, а при больших объёмах можно воспользоваться асимптотическим распределением. Т.е. для «смысла 2» имеется, по крайней мере, один широко известный критерий.
А какие имеются критерии для «смысла 1» в случае дискретных распределений?
Вроде бы критерии в основном разрабатывались для непрерывных распределений. [В
Лемешко Б.Ю., Веретельникова И.В. «Критерии проверки гипотез о случайности и отсутствии тренда» (
pdf) можно найти список большого числа критериев, анализ и ссылки.]
________________
*) Примеры двух ближайших аналогов для случая непрерывной случайной величины.
Элементы выборки независимые и одинаково равномерно распределённые на некотором промежутке («отрезке») случайные величины. Если промежуток задан (простая гипотеза) — то можно применить критерий согласия Колмогорова (одновыборочный критерий Колмогорова — Смирнова). В первой лекции В. И. Арнольда, возможно об этом идёт речь. Если отрезок не задан (не известны параметры, сложная гипотеза), то — модификацию критерия Колмогорова.
Критерий же однородности Колмогорова — Смирнова (двухвыборочный критерий Колмлгорова — Смирнова) предполагает, что обе выборки {
,
,
,
} — это независимые и одинаково распределённые случайные величины, а основная гипотеза состоит в том, что функции распределения
и
совпадают (по-другому: случайные величины
и
имеют одинаковое распределение). Т.е. это к «смыслу 2» слабо подходит.
Другой пример из области непрерывных случайных величин рассмотрен в первом томе книги Феллера «Введение в теорию вероятностей и её приложения», § Примеры схем, приводящие к распределению Пуассона: «Разрывы самолётов-снарядов в Лондоне». Предположение о том, что число падений на участки с одинаковой площадью имеют распределение Пуассона и использование критерия
позволило сделать вывод: «точки падения были совершенно случайными, все участки равноправные».
