2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Демидович. Доказать существование предела
Сообщение14.06.2018, 17:07 


30/01/17
162
137. Пусть числовая последовательность $x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$ удовлетворяет условию $0\leqslant x_{n+m}\leqslant x_n+x_m$, ($m, n=1, 2, \dots$).
Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}$ существует.

Можно показать, что $0\leqslant x_n\leqslant nx_1$ и что $x_n\leqslant \max\limits_{i<n}x_i + \min\limits_{i<n}x_i$, но это ничего не дает.

Предположить что предела нет и $\varliminf\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}=a$ $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}=b$
Тогда можно подобрать $i, k$ такие что
$\frac{x_i}{i}<a+\varepsilon$, $\frac{x_k}{k}<b+\varepsilon$ и $\frac{x_{i+k}}{i+k}>b-\varepsilon$
Откуда $(b-\varepsilon)(i+k)<x_{i+k}\leqslant x_i+x_k<(a+\varepsilon)i+(b+\varepsilon)k$
$b(i+k)<ai+bk+2\varepsilon(i+k)$
$(b-a)i<2\varepsilon(i+k)$
$b-a<2\varepsilon\frac{i+k}{i}$
Тоже ничего не дает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение14.06.2018, 18:09 
Заслуженный участник


18/01/15
681
Эта задача весьма поучительна (само утверждение называется леммой Фекете). Попытайтесь все-таки сами порешать, часов несколько. Если совсем в тупик зайдете --- под спойлером совет.

(совет)

Докажите такое утверждение: если существует $m$ такое, что $x_m=Am$, где $A$ --- некоторое число, то непременно $\overline\lim_{n\to \infty}x_n/n\leq A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение15.06.2018, 20:20 


30/01/17
162
Пусть $y_n=\frac{x_n}{n}$. Тогда $y_{in+j}\leqslant\frac{1}{in+j}\left(\left(\left(i-1\right) n+j\right)y_{(i-1)n+j}+ny_n\right)\leqslant$$\frac{1}{in+j}\left(\left(\left(i-2\right) n+j\right)y_{(i-2)n+j}+2ny_n\right)\leqslant$$\frac{1}{in+j}\left(\left(\left(i-k\right) n+j\right)y_{(i-k)n+j}+kny_n\right)\leqslant$$\frac{1}{in+j}\left(jy_j+iny_n\right)$
Получается, что верхняя граница для подпоследовательности вида $y_{in+j}$ приближается к $y_n$ сколь угодно близко.
По индукции $x_1\leqslant x_1$ и $x_i\leqslant ix_1 \Rightarrow 0\leqslant x_{i+1}\leqslant x_i+x_1\leqslant (i+1)x_1$
Тогда $0\leqslant y_i \leqslant x_1$ и $y_i$ имеет точную нижнюю границу $y$, которая и будет пределом последовательности $y_i$:
Пусть для некоторого $n$ выполнено $y_n-y\leqslant\varepsilon$, по доказанному $y_n+\varepsilon > y_{in+j}$ Тогда $y+2\varepsilon>y_{in+j}$
Проверьте, пожалуйста, все ли верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение15.06.2018, 23:00 
Заслуженный участник


18/01/15
681
Да, в основном правильно. Однако: фразу
Ivan_B в сообщении #1320203 писал(а):
Получается, что верхняя граница для подпоследовательности вида $y_{in+j}$ приближается к $y_n$ сколь угодно близко

следует заменить на "Отсюда следует, что верхний предел подпоследовательности $y_{in+j}$ не превосходит $y_n$, для любого $j=0,1,\ldots, n-1$".
Ivan_B в сообщении #1320203 писал(а):
по доказанному $y_n+\varepsilon > y_{in+j}$
надо добавить "для каждого $j$ и всех достаточно больших $i$". И еще несколько поправок того же типа. То есть, надо не пропускать всякие логические связки и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение17.06.2018, 09:03 


30/01/17
162
Еще одна попытка:
По индукции докажем $x_{in+j}\leqslant ix_n+x_j$: По условию $x_{n+j}\leqslant x_n+x_j$ и $x_{(i+1)n+j}\leqslant x_n+x_{in+j} \leqslant (i+1)x_n+x_j$
$x_{in+j}\leqslant ix_n+x_j \Rightarrow \frac{x_{in+j}}{in+j} \leqslant \frac{ix_n+x_j}{in+j}$
Тогда будет верно и неравенство $\varlimsup\limits_{i\to\infty}\frac{x_{in+j}}{in+j} \leqslant \varlimsup\limits_{i\to\infty}\frac{ix_n+x_j}{in+j}$
$\varlimsup\limits_{i\to\infty}\frac{ix_n+x_j}{in+j}=\lim\limits_{i\to\infty}\frac{x_n+\frac{x_j}{i}}{n+\frac{j}{i}}=\frac{x_n}{n}$
Пусть $y_n=\frac{x_n}{n}$, тогда $\varlimsup\limits_{i\to\infty}y_{in+j}\leqslant y_n$
Любое $k\geqslant n$ можно представить в виде $k=in+j$, $j=0,1,\dots n-1$. Поэтому последовательность $y_k$ можно разделить на $n$ подпоследовательностей вида $y_{in+j}$ для каждой из которых верно $\varlimsup\limits_{i\to\infty}y_{in+j}\leqslant y_n$. Тогда будет верно и $\varlimsup\limits_{k\to\infty}y_{k}\leqslant y_n$
По условию $x_n\geqslant 0$, тогда $y_n\geqslant 0$, тогда последовательность $y_n$ имеет точную нижнюю границу $y$.
Тогда $\forall \varepsilon>0\;\exists n\; (y_n<y+\varepsilon)$
Из $\varlimsup\limits_{k\to\infty}y_{k}\leqslant y_n$ следует $\exists k \sup\limits_{i\geqslant k}y_i<y_n+\varepsilon$, тогда $\forall i>k\; y_i<y_n+\varepsilon<y+2\varepsilon$
Тогда $\forall \varepsilon>0\;\exists k\;\forall i>k\; y\leqslant y_i <y+2\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение17.06.2018, 12:51 
Заслуженный участник


18/01/15
681
Чтоб я так жил! (как говорят в Одессе)

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение17.06.2018, 19:48 
Заслуженный участник


18/01/15
681
Я имел в виду "очень хорошо!". Гугл, однако, сказал, что это выражение означает любую сильную эмоцию вообще, так что уточняю, на всякий случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение17.06.2018, 20:16 


30/01/17
162
vpb
Спасибо огромное за Ваши подсказки и замечания!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group