2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Демидович. Доказать существование предела
Сообщение14.06.2018, 17:07 


30/01/17
208
137. Пусть числовая последовательность $x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$ удовлетворяет условию $0\leqslant x_{n+m}\leqslant x_n+x_m$, ($m, n=1, 2, \dots$).
Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}$ существует.

Можно показать, что $0\leqslant x_n\leqslant nx_1$ и что $x_n\leqslant \max\limits_{i<n}x_i + \min\limits_{i<n}x_i$, но это ничего не дает.

Предположить что предела нет и $\varliminf\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}=a$ $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}=b$
Тогда можно подобрать $i, k$ такие что
$\frac{x_i}{i}<a+\varepsilon$, $\frac{x_k}{k}<b+\varepsilon$ и $\frac{x_{i+k}}{i+k}>b-\varepsilon$
Откуда $(b-\varepsilon)(i+k)<x_{i+k}\leqslant x_i+x_k<(a+\varepsilon)i+(b+\varepsilon)k$
$b(i+k)<ai+bk+2\varepsilon(i+k)$
$(b-a)i<2\varepsilon(i+k)$
$b-a<2\varepsilon\frac{i+k}{i}$
Тоже ничего не дает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение14.06.2018, 18:09 
Заслуженный участник


18/01/15
1226
Эта задача весьма поучительна (само утверждение называется леммой Фекете). Попытайтесь все-таки сами порешать, часов несколько. Если совсем в тупик зайдете --- под спойлером совет.

(совет)

Докажите такое утверждение: если существует $m$ такое, что $x_m=Am$, где $A$ --- некоторое число, то непременно $\overline\lim_{n\to \infty}x_n/n\leq A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение15.06.2018, 20:20 


30/01/17
208
Пусть $y_n=\frac{x_n}{n}$. Тогда $y_{in+j}\leqslant\frac{1}{in+j}\left(\left(\left(i-1\right) n+j\right)y_{(i-1)n+j}+ny_n\right)\leqslant$$\frac{1}{in+j}\left(\left(\left(i-2\right) n+j\right)y_{(i-2)n+j}+2ny_n\right)\leqslant$$\frac{1}{in+j}\left(\left(\left(i-k\right) n+j\right)y_{(i-k)n+j}+kny_n\right)\leqslant$$\frac{1}{in+j}\left(jy_j+iny_n\right)$
Получается, что верхняя граница для подпоследовательности вида $y_{in+j}$ приближается к $y_n$ сколь угодно близко.
По индукции $x_1\leqslant x_1$ и $x_i\leqslant ix_1 \Rightarrow 0\leqslant x_{i+1}\leqslant x_i+x_1\leqslant (i+1)x_1$
Тогда $0\leqslant y_i \leqslant x_1$ и $y_i$ имеет точную нижнюю границу $y$, которая и будет пределом последовательности $y_i$:
Пусть для некоторого $n$ выполнено $y_n-y\leqslant\varepsilon$, по доказанному $y_n+\varepsilon > y_{in+j}$ Тогда $y+2\varepsilon>y_{in+j}$
Проверьте, пожалуйста, все ли верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение15.06.2018, 23:00 
Заслуженный участник


18/01/15
1226
Да, в основном правильно. Однако: фразу
Ivan_B в сообщении #1320203 писал(а):
Получается, что верхняя граница для подпоследовательности вида $y_{in+j}$ приближается к $y_n$ сколь угодно близко

следует заменить на "Отсюда следует, что верхний предел подпоследовательности $y_{in+j}$ не превосходит $y_n$, для любого $j=0,1,\ldots, n-1$".
Ivan_B в сообщении #1320203 писал(а):
по доказанному $y_n+\varepsilon > y_{in+j}$
надо добавить "для каждого $j$ и всех достаточно больших $i$". И еще несколько поправок того же типа. То есть, надо не пропускать всякие логические связки и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение17.06.2018, 09:03 


30/01/17
208
Еще одна попытка:
По индукции докажем $x_{in+j}\leqslant ix_n+x_j$: По условию $x_{n+j}\leqslant x_n+x_j$ и $x_{(i+1)n+j}\leqslant x_n+x_{in+j} \leqslant (i+1)x_n+x_j$
$x_{in+j}\leqslant ix_n+x_j \Rightarrow \frac{x_{in+j}}{in+j} \leqslant \frac{ix_n+x_j}{in+j}$
Тогда будет верно и неравенство $\varlimsup\limits_{i\to\infty}\frac{x_{in+j}}{in+j} \leqslant \varlimsup\limits_{i\to\infty}\frac{ix_n+x_j}{in+j}$
$\varlimsup\limits_{i\to\infty}\frac{ix_n+x_j}{in+j}=\lim\limits_{i\to\infty}\frac{x_n+\frac{x_j}{i}}{n+\frac{j}{i}}=\frac{x_n}{n}$
Пусть $y_n=\frac{x_n}{n}$, тогда $\varlimsup\limits_{i\to\infty}y_{in+j}\leqslant y_n$
Любое $k\geqslant n$ можно представить в виде $k=in+j$, $j=0,1,\dots n-1$. Поэтому последовательность $y_k$ можно разделить на $n$ подпоследовательностей вида $y_{in+j}$ для каждой из которых верно $\varlimsup\limits_{i\to\infty}y_{in+j}\leqslant y_n$. Тогда будет верно и $\varlimsup\limits_{k\to\infty}y_{k}\leqslant y_n$
По условию $x_n\geqslant 0$, тогда $y_n\geqslant 0$, тогда последовательность $y_n$ имеет точную нижнюю границу $y$.
Тогда $\forall \varepsilon>0\;\exists n\; (y_n<y+\varepsilon)$
Из $\varlimsup\limits_{k\to\infty}y_{k}\leqslant y_n$ следует $\exists k \sup\limits_{i\geqslant k}y_i<y_n+\varepsilon$, тогда $\forall i>k\; y_i<y_n+\varepsilon<y+2\varepsilon$
Тогда $\forall \varepsilon>0\;\exists k\;\forall i>k\; y\leqslant y_i <y+2\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение17.06.2018, 12:51 
Заслуженный участник


18/01/15
1226
Чтоб я так жил! (как говорят в Одессе)

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение17.06.2018, 19:48 
Заслуженный участник


18/01/15
1226
Я имел в виду "очень хорошо!". Гугл, однако, сказал, что это выражение означает любую сильную эмоцию вообще, так что уточняю, на всякий случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович. Доказать существование предела
Сообщение17.06.2018, 20:16 


30/01/17
208
vpb
Спасибо огромное за Ваши подсказки и замечания!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: george66


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group