Соотношение с пределами

[Gladiator1995]

Натолкнулся на задачу, но не знаю, как к ней подступиться.
Пусть функция f(x) ограничена на любом интервале $(1,b), b > 1$. Тогда верно равенство: $lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=lim_{x\to +\infty}(f(x+1) - f(x))$
Помогите пожалуйста доказать это равенство.
Первоисточник: Архипов, Садовничий, Чубариков - учебник математического анализа, мех-мат МГУ

[Dan B-Yallay]

Gladiator1995 в сообщении #1319188 писал(а):

Пусть функция f(x) ограничена на любом интервале $(1,b), b > 1$. Тогда верно равенство: $lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=lim_{x\to +\infty}(f(x+1) - f(x))$

А то, что пределы существуют - это уже доказано? Рассмотрите функцию $f(x) = x \sin x. $ Чему равен первый предел?

[thething]

Да там можно просто взять $f(x)=\sin x$ и получить контрпример. Думаю, имеется ввиду следующее: если существует предел в правой части равенства, то существует и равен ему предел левой части.

Кажется, что доказывать надо через теорему Штольца и определение предела по Гейне.

[nya]

Если известно что левый предел существует то левая часть означает просто $f(x) = \lambda x + o(x)$. Если известно что правый предел существует, то правая часть означает просто $f(x) - f(x-1) = \mu + o(1)$ сложив $x$ таких равенств можно получить $f(x) = \mu x + o(x)$.

[thething]

nya в сообщении #1319202 писал(а):

сложив $x$ таких равенств

Как-то странно складывать, к примеру, $\pi$ равенств.. Складывать надо $[x]$ равенств (или $[x]-1$, пусть ТС сам смотрит уже строго), пока не дойдем до равенства, в котором окажется $f(\left\lbrace x\right\rbrace)$ (или $f(\left\lbrace x\right\rbrace+1)$). Ну а там, в пределе при $x\to +\infty$ всё и получится.

[nya]

thething в сообщении #1319204 писал(а):

Как-то странно складывать, к примеру, $\pi$ равенств.

Ну это же всё полусерьезно было, чего вы. Там желательно бы и обосновать что сумма $x$ штук $o(1)$ даст $o(x)$, что по сути методом суммирования по Чезаро явялется и классически доказывается через теорему Штольца.

[thething]

Да я просто дополнил, как можно, как по мне, элементарно всё дообосновать, без претензий)

-- 12.06.2018, 10:01 --

thething в сообщении #1319206 писал(а):

что по сути методом суммирования по Чезаро явялется и классически доказывается через теорему Штольца.

Как раз элементарно будет просто перейти к пределу, не внося иксы в о-малые.

[gris]

Издалека похоже на Лопиталя

[Aritaborian]

(ТеХническое)

Gladiator1995, сравните:

Gladiator1995 в сообщении #1319188 писал(а):

$\lim \limits _{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim \limits _{x\to +\infty}(f(x+1) - f(x))$

[nya]

(Оффтоп)

Вообще-то $\lim_{x\to\infty}$ отображаентся не как $\lim\limits_{x \to \infty}$ не по причине того, что разработчики хотели поиздеваться над людьми и заставить их писать какой-то непонятный \limits лишинй раз, а потому что второй вариант несколько не по ширине строки и канонiчно встроенные в текст формулы писать именно как $\lim_{x \to \infty}$. А не встроенные в текст оно и так красиво сделает, без всяких \limits:

$$\lim_{x \to \infty}$$

-- 12.06.2018, 10:46 --

thething в сообщении #1319206 писал(а):

Как раз элементарно будет просто перейти к пределу, не внося иксы в о-малые.

Не понял что значит "не внося иксы в о-малые", $o(1)$ это короткая запись для $\alpha(x) : \lim_{x \to +\infty} \alpha(x) = 0$ поэтому после суммирования буквально выйдет (предполагаем что $x$ было натуральным) $f(x) - f(0) = \mu x + (\alpha(x) + \alpha(x-1) + ... + \alpha(1))$ поделив на $x$ соответственно получим $\frac{f(x) - f(0)}{x} = \mu + \frac{\alpha(x) + \alpha(x-1) + ... + \alpha(1)}{x}$ и теперь всё буквально свелось к утверждению: пусть $\alpha(x)$ s.t. $\lim_{x \to +\infty} \alpha(x) = 0$, доказать, что $\lim_{x \to +\infty} \frac{\alpha(x) + \alpha(x-1) + ... + \alpha(1)}{x} = 0$.

[Aritaborian]

(ТеХническое)

nya, это уже тонкости. Но ТС мог хотя бы написать $\lim$ вместо $lim$. Здесь даже сообщение об ошибке выдаётся при попытке так сделать! А он его проигнорировал ;-(

[thething]

nya
Это я о своём, о целом.. Хотя, по сути о том же (думал только какими-нибудь эпсилонами эти о-малые оценивать и складывать). В-общем, как в доказательстве Штольца.