Интеграл. Характеристические свойства.

[philurame]

У меня такой вопрос: есть ли у интеграла Римана определённый набор характеристических свойств для его описания? То есть, можно ли задать интеграл Римана "другим" способом (не через интегральные суммы)? К примеру, обязательные условия для интеграла должны быть: Аддитивность, положительная определенность, инвариантность относительно смещения на вектор.

Я нашел следующее, "другое" описание Интеграла Римана:
Линейное отображение (функционал) $I : C_{pc}^0\to\mathbb{R}$, (где $C_{pc}^0$-векторное пространство кусочно-непрерывных функций, равных нулю вне некоторого отрезка, зависящего от функции)
со следующими свойствами:
1) положительность: если $f \geqslant 0, то I(f) \geqslant 0$
2) трансляционная инвариантность:
$I(f(T_a)) = I(f), где T_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — параллельный перенос: $T_a(x) = x + a$,
3) аддитивность: $I(f *\chi[a,b]) + I(f * \chi[b,c]) = I(f * \chi[a,c])$,
4) нормировка: $I(\chi[0,1]) = 1$
($\chi[a,b](x)=1$, если $x\in[a,b]$ и $\chi[a,b](x)=0$, если $x\notin[a,b]$)
тогда $I$-интеграл Римана.

Как можно доказать, что это действительно интеграл Римана? Я думаю, что здесь приводится соответствие $$$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$ \to I(f*\chi[a,b](x))$, Далее, проверяются пункты 1), 2), 3), 4), но всё ли это? Нужно ли еще что-то добавить?

[Mishka_Barni]

philurame в сообщении #1319099 писал(а):

есть ли у интеграла Римана определённый набор характеристических свойств для его описания?

А неотрицательности, линейности, и инвариантности относительно сдвигов для функций на $C_c(\mathbb{R})$ не достаточно?
Например, воспользоваться теоремой Рисса, получить представления неотрицательного функционала в виде интеграла по регулярной, неотрицательной мере. Показать, что мера инварианта относительно сдвига. Такая мера с точностью для положительного множителя единственна (единственность не сложно показать). Получили меру Лебега. Интеграл Лебега от непрерывной функции совпадает с интегралом Римана.

(Оффтоп)

Что-то набрал за минуту...

[novichok2018]

Несколько кривой путь. Интеграл Римана - это частный случай дробного интеграла порядка один. А для дробного интеграла характеризация есть в книге Самко, Килбас, Маричев, к комментариях к какой-то главе.

[Dan B-Yallay]

Посмотрите еще интеграл Даниэля.

[pogulyat_vyshel]

philurame в сообщении #1319099 писал(а):

У меня такой вопрос: есть ли у интеграла Римана определённый набор характеристических свойств для его описания?

Есть. См Стернберг Лекции по дифференциальной геометрии самый конец книжки

[nya]

Я может чего-то не понимаю но этого очевидно не хватает, давайте определим $I$ на линейных комбинациях хар.функций отрезков правильно, и доопределим $0$ на любой другой функции.

Правильная характеризация, одна из: линейность, правильно определено на лин. комбинациях хар. функций отрезков и какой-нибудь вариант теоремы о монотонной сходимости.

-- 11.06.2018, 22:26 --

Mishka_Barni в сообщении #1319123 писал(а):

Например, воспользоваться теоремой Рисса, получить представления неотрицательного функционала в виде интеграла по регулярной, неотрицательной мере.

Только для этого непрерывность функционала бы не помешала.

[Mishka_Barni]

nya в сообщении #1319140 писал(а):

Только для этого непрерывность функционала бы не помешала.

Какая непрерывность?

Посмотрел у Макарова, Подкорытова в "Лекциях по вещественному анализу" в Добавлении на с. 618 что-то подобное строится (Это к вопросу о Римане)

[nya]

Mishka_Barni в сообщении #1319145 писал(а):

Какая непрерывность?

А какая теорема Рисса? Которая $C[a..b]^* = rca[a..b]$? Если да, то неплохо было бы вспомнить что такое $*$ по отношении к бан.пространствам, если нет, то объясните подробнее что вы имели в виду.

[Mishka_Barni]

Рисса--Какутани для финитных непрерывных функций, а не исчезающих на бесконечности.

[nya]

Да, сори, положительные функционалы в $C[a..b]$ непрерывны а мой контрпример не работает потому что $I(\chi_{[a..b]} +f) = I(\chi_{[a..b]}) + I(f)$, тогда да, аксиом в ТС посте хватит.

[philurame]

Mishka_Barni
A как тогда используется инвариантность сдвига? Она нужна, чтобы показать, что корректно работает замена переменных $x \to \varphi(t)$?

[Mishka_Barni]

Для того, чтобы показать инвариантность меры относительно сдвига, замена тут не причём. Конструкция очень общая.

Imho, я предложил топорные размышления. Для Римана достаточно того, что в Макарове, Подкорытове, наверное (или что там сверху предложили, с чем я не знаком). Хотя при всей этой аксиоматике надо ещё показать существование объекта удовлетворяющего требованиям. В общем, интегральные суммы самое оно

[philurame]

Mishka_Barni
Заинтересовало предложение с интегральными суммами. Как же тогда проверить, что $I(f*\chi[a,b](x))=\sum\limits_{i=1}^{\infty}f*\chi[x_{i-1},x_i](x)$, где $\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}[x_{i-1},x_i]=[a,b]$?

[nya]

Проверив аксиомы для интегральных сумм вы докажете только существование, а нужно доказать, что если существует то единственный. Аддитивность+трансляционная инвариантность+нормировка нужны за тем, чтобы показать что на всех простых функциях (линейных комбинациях характеристических функций отрезков) $I$ совпадает с классическим интегралом Римана. Из положительности сразу следует непрерывность по $sup$-норме (немного неочевидный момент), а так как любую кусочно-непрерывную можно приблизить по $sup$-норме простыми (очевидный, но тоже нужно аккуратно проверять) $I$ однозначно распостраняется на все кусочно-непрерывные.

[philurame]

nya
Спасибо! Теперь всё понял.