Вопрос про использование О большого

[newbie2015]

Предположим, есть некоторые последовательности $u_n$ и $v_n$ и для них установлено, что $(u_n+O(n))^2=v_n^2+O(n^2)$. Если теперь положить $\delta_n=v_n-u_n$, то $v_n^2+0\equiv v_n^2=(u_n+\delta_n)^2$, тогда, так как $0=O(n^2)$, следует ли из всего этого, что необходимым образом $\delta_n=O(n)$?

[Munin]

$O$-символы нельзя вычитать, перемножать, возводить в квадрат и т. д.

(Оффтоп)

(Разве что в смысле "операций по Минковскому", поскольку $O$-символы представляют собой множества, а равенство подразумевает принадлежность множеству.)

[newbie2015]

А если так переписать: $(u_n+\alpha_n)^2=v_n^2+O(n^2)$ для произвольной $\alpha_n=O(n)$?

-- 10.06.2018, 14:53 --

Прочитав ваше "равенство подразумевает принадлежность множеству", начинаю догадываться, что даже в переписанной формулировке ответ на мой вопрос всё равно будет "нет". В задаче, которая породила этот вопрос, равенство устанавливается только слева направо, а так как равенство подразумевает принадлежность, равенство справа налево это автоматически не влечёт.

[Munin]

Это уже осмысленно, но дальше надо проверять, возможно ли.

[newbie2015]

В задаче равенство справа налево тоже выполняется, но я был под ошибочным впечатлением, что равенство в одну сторону автоматически влечёт и равенство в другую, и не очень понимал, зачем после установления равенства слева направо надо устанавливать ещё и справа налево. После интерпретирования в терминах принадлежности к множеству стало понятнее. Спасибо.