Прошу помочь с биквадратным уравнением с параметрами

[dimanet]

Здравствуйте!

Мне необходимо исследовать уравнение

$$ (\sigma^2 + 4)b^4 - 2\Big(\frac{1-\epsilon}{\epsilon} - 4(1-\lambda)\Big)b^2 + \Big(\frac{1-\epsilon}{\sigma \epsilon}\Big)^2 = 0 $$

на наличие положительных корней в зависимости от параметров.

Могу ли я пользоваться теоремой Виета (как самым простым вариантом) в этом случае или нет (будем считать, что действительные корни есть)? Или куда мне посмотреть? Подскажите пожалуйста. (Просто уже запутался).

Заранее большое спасибо!

[gris]

Я бы сначала отделил наличие нулевого корня. А потом можно по теореме Виета поанализировать знаки корней квадратного уравнения относительно $b^2$. Но на первый взгляд у него может и не быть действительных корней. Впрочем, надо знать область значений параметров. Например, если $\lambda=1$, то дискриминант может быть отрицательным.
А вообще биквадратность и теорема Виета сразу убирают почти половину неверных ответов на вопрос о возможном количестве положительных корней

[dimanet]

Лямбда как раз меньше 1 и b не равно нулю по условию.
Спасибо большое!

[gris]

А это только убирает ещё один ответ. Остаётся ещё два варианта. Нет положительных корней или их два.
Ведь квадратное уравнение относительно $b^2$ имеет три варианта развития событий.

[lim0n]

Можно выделить квадрат разности, заменить $2(1- \lambda)=\pm\ldots$. В итоге имеем квадрат равный нулю, 2 пары кратных корней. Но в случае действительных, естественно, будет и отрицательный.

[dimanet]

gris
т.е. по теореме Виета получается (в силу

$$ (\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon})^2 > 0 $$

нужно чтобы выполнялось

$$ 2\Big(\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon} - 4(1-\lambda)\Big) > 0 $$

я правильно понимаю?

lim0n
как выделить здесь полный квадрат, честно говоря, не представляю. :(

[gris]

Я бы так рассуждал. В соответствующем квадратном уравнении крайние коэффициенты строго положительны. Отсюда следует, что уравнение может не иметь действительных корней, либо иметь два положительных, либо два отрицательных, либо один положительный. Это почти то, что Вы написали. Надо ещё дискриминант учитывать. А биквадратное уравнение будет соответственно не иметь действительных корней, иметь два положительных и два отрицательных корня, не иметь действительных корней, иметь один положительный корень.
То есть Вам надо проанализировать второе неравенство плюс дискриминант. Потому, что неравенство может выполняться, но дискриминант будет меньше нуля.

[lim0n]

$\left (\sigma b^2 - \dfrac{1-\varepsilon}{\sigma \varepsilon}\right )^2 + 4b^4 + 8(1-\lambda)b^2 = 0$
Замена $2(1-\lambda)=\pm\left (\sigma b^2 - \dfrac{1-\varepsilon}{\sigma \varepsilon}\right )$
Дальше...

[dimanet]

gris
вот к примеру я проанализировал дискриминант для одного случая:

\begin{align*} D &= 4(\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon} - 4(1-\lambda))^2 - 4\frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2 + 4)(\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon})^2 = \\ &= \Big[\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}(1-\frac{\sqrt{\sigma^2 + 4}}{\sigma})-4(1-\lambda)\Big]\Big[\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}(1+\frac{\sqrt{\sigma^2 + 4}}{\sigma})-4(1-\lambda)\Big] > 0 \end{align*}

Т.е. оба члена произведения должны быть одинакового знака (для начала пусть они оба положительные). Получил систему неравенств:

\begin{cases} \lambda < 1-\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}\left( 1-\frac{\sqrt{\sigma^2 + 4}}{\sigma} \right) \\ \lambda < 1-\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}\left( 1+\frac{\sqrt{\sigma^2 + 4}}{\sigma} \right) \end{cases}

Дальше проанализировал в зависимости от \varepsilon, нашел пересечение (вернее при выполнении какого неравенства выполняется и другое).

Потом у меня получится из коэффициента при b^2 неравенство относительно \lambda и тогда уже нахожу пересечение множеств параметров, если так можно сказать, при котором оба неравенства выполняются. Я правильно делаю или нет? Просто уже запутался.

[gris]

А есть ли интервалы для сигмы и эпсилон? Лямбда может быть отрицательной?

[dimanet]

Сигма строго больше нуля, \varepsilon = e^{\sigma^2/2 + m} > 0, в зависимости от m может быть больше или меньше единицы. Про лямбду: это параметр из системы уравнений
\begin{align*} &E[\lambda + (bz + a)^2] = 1\\ &E[(\lambda + (bz + a)^2)e^{\sigma z + m}] = 1, \end{align*}
где z -- стандартная нормальная величина. Мне кажется, что лямбда может быть и отрицательной. То есть мне в общем, нужно выразить b и a, а лямбда -- свободный параметр.
Вот такая штука.

[gris]

Я небольшую замену сделал: $d=(1-\varepsilon)/\varepsilon; h=1-\lambda;s=\sigma$.
Тогда уравнение запишется так: $(s^2+4)b^4+2(4h-d)b^2+d^2/s^2=0$
Дискриминант (делёный на 4) равен
$(4h-d)^2-(s^2+4)\cdot d^2/s^2=16h^2-8hd-4d^2/s^2=\dfrac 1 {d^2}\cdot ((4h/d)^2-2(4h/d)-4/s^2)$
При этом условие наличия двух (одного кратного) положительных корней для $b^2$ будет $4h-d\leqslant 0$
Может быть можно отсюда что-то выковырять? И правильно ли я всё преобразовал? Мне кажется, что квадратное уравнение не может иметь положительных корней
Ну вот из неравенства получаем $0<4h/d<1$, а при этом дискриминант получается отрицательным.

[dimanet]

Буду пробовать вечером. Если что-то получится, то напишу. :)
Спасибо большое!

[gris]

lim0n в сообщении #1318625 писал(а):

$\left (\sigma b^2 - \dfrac{1-\varepsilon}{\sigma \varepsilon}\right )^2 + 4b^4 + 8(1-\lambda)b^2 = 0$

А чего ещё надо? По условию лямбда меньше единицы. То есть выражение строго положительно при действительных $b$.

[dimanet]

А если лямбду не ограничивать единицей? Можно ж ее взять такой, чтоб многочлен принимал отрицательные значения? Так, мысли наобум.