Интегрируемость системы уравнений первого порядка

[Metford]

Вопрос возник при прочтении, что называется "с карандашом", статьи Леонтовича "Эволюция представлений о магнитных и электрических силовых линиях" (УФН, 84, 1964). Он чисто математический, поэтому задаю его здесь.
Значит, в задаче фигурируют два векторных поля $\vec{E}$, $\vec{H}$, зависящие от пространственных координат и времени. Для них предлагается рассмотреть систему уравнений

$$[d\vec{r},\vec{H}]+c\vec{E}dt=0,\;\vec{E}d\vec{r}=0.$$

Для полноты добавлю, что есть дополнительное условие взаимной ортогональности полей $\vec{E}$ и $\vec{H}$.
Ищется условие интегрируемости этой системы. Точнее, автор его просто формулирует, вообще не говоря ни слова, из чего он исходил хотя бы. Допуская, что у меня имеется большой пробел в таких вопросах, я обратился к математической литературе. Удалось найти следующее утверждение (простите, пишу без обычных для теорем условий: для физических полей можно всё-таки предполагать, что они "хорошие"). Если решается система уравнений $\omega_1=0,...,\omega_n=0$, из которых $k$ независимы ($\omega_i$ - 1-формы), то условиями интегрируемости являются равенства $\omega_1\wedge ...\wedge \omega_k\wedge d\omega_1=0$ - и т.д. с изменением формы под дифференциалом. Сомножители без дифференциала должны быть независимыми.

В данном конкретном случае независимых уравнений всего два. Т.е. получается, что нужно составить произведение трёх форм (двух 1-форм и одной 2-формы). У меня как-то сразу возникли сомнения, что этот расчёт приведёт к условию, выписанному у Леонтовича. Да и довольно громоздко получается. Несложно, но громоздко. Сегодня у меня по техническим причинам было достаточно времени, которое нельзя было потратить с большей пользой - и я провёл этот расчёт, и подозрения оправдались: ничего общего с ответом Леонтовича.

Сильно подозреваю, что мимо меня прошло что-то не слишком сложное. Пожалуйста, подскажите хотя бы общий вид условия, выполнение которого гарантировало бы интегрируемость систем уравнений вроде той, что я привёл в начале.

[pogulyat_vyshel]

ну вопервых запишем уравнение в нормальной форме Коши

$$\boldsymbol{\dot r}=\frac{c}{|\boldsymbol H|^2}[\boldsymbol E,\boldsymbol H]+\gamma(t,\boldsymbol r) \boldsymbol H$$

где функция $\gamma$ -- любая функция второе уравнение при этом удовлетворяется тождественно, так, что система разрешима во всяком случае при $\boldsymbol H\ne 0$


во всяком случае если я правильно понял условие и первое уравнение это ОДУ

[pogulyat_vyshel]

Посмотрел Леонтовича. Да, вы все правильно поняли, речь действительно идет о теореме Фробениуса. Он утверждает, что выписал условия интегрируемости двумерного распределения У вас должно получаться тоже самое. Может его резуллтат эквивалентен вашему по модулю уравнений Максвелла , например

[Metford]

Так. Значит, по крайней мере, подход правильный. Что ж, будем пробивать дальше.
pogulyat_vyshel, спасибо!