2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мера невообразимости числа
Сообщение07.06.2018, 15:44 
Аватара пользователя


01/12/11
8362
Мера невообразимости натурального числа $n>1$ показывает, во сколько первых степеней его можно возвести таким образом, чтобы сложив цифры результата (перед этим при необходимости сгруппировав некоторые или все из них, но не нарушая порядок), получить само число.

Поясню вышесказанное на примере числа 55:

$$55^1=55,\quad 55=55$$
$$55^2=3025,\quad 30+25=55$$
$$55^3=166375,\quad 1+6+6+37+5=55$$
$$55^4=9150625,\quad 9+15+0+6+25=55$$
$$55^5=503284375,\quad 5+0+3+28+4+3+7+5=55$$

А вот в шестую степень возвести число 55 подобным образом уже не удастся, так как в результате получится 27680640625 и "сделать" из этого числа число 55 не получится.
Таким образом, мера невообразимости числа 55 равна 5.

Существуют ли числа с большей мерой невообразимости? Как их найти? Для любого ли натурального $k$ существует натуральное $m$ с мерой невообразимости, превышающей $k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера невообразимости числа
Сообщение07.06.2018, 16:04 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5382
Число 45 имеет меру 6, число 91 - меру 10.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера невообразимости числа
Сообщение07.06.2018, 16:13 
Аватара пользователя


01/12/11
8362
maxal в сообщении #1317912 писал(а):
Число 45 имеет меру 6, число 91 - меру 10.

А может ли быть число, например, с мерой 100?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера невообразимости числа
Сообщение07.06.2018, 16:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5382
Числа имеющие меру $\geq 2$ представлены в A038206.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера невообразимости числа
Сообщение07.06.2018, 16:29 
Аватара пользователя


01/12/11
8362
maxal в сообщении #1317916 писал(а):
Числа имеющие меру $\geq 2$ представлены в A038206.

Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера невообразимости числа
Сообщение07.06.2018, 16:53 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5382
Ktina в сообщении #1317913 писал(а):
А может ли быть число, например, с мерой 100?

Да, у числа 990 мера равна 107.
Вообще же, проблемно "продраться" через маленькие степени (квадраты, кубы и т.д.), а для больших степеней (с большим количеством цифр) появляется больше шансов получить нужную сумму. Конечно, это возможно только пока сумма цифр степени числа не превосходит самого числа.

-- Thu Jun 07, 2018 09:17:37 --

Вычислительное подтверждение такое.

Пусть $b(n)$ - это максимальное целое число $q$ такое, что сумма цифр числа $n^i$ не превосходит $n$ для всех $i=1,2,\dots,q$. Понятно, что $b(n)$ является верхней гранью для меры невообразимости $n$.
Оказывается, что для всех указанных на текущий момент элементов последовательности A038206, начиная с $n=379$, их мера невообразимости равна или 2, или $b(n)$.
То есть, "продравшиеся" через квадрат (что означает принадлежность к A038206) и куб, с легкостью достигают своего теоретического максимума по мере невообразимости. А именно, к таковым относятся элементы мерами равными $b(n)$:
Код:
n   b(n)
675 50
945 68
964 71
990 107
991 71
1296 84
1702 114
2728 173
4879 285
5050 403
5149 300
5292 309

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера невообразимости числа
Сообщение11.06.2018, 06:13 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5382
Добавил последовательности A305706 ($=b(n)+1$) и A305707 (числа, мера которых равна $b(n)$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера невообразимости числа
Сообщение11.06.2018, 08:37 
Аватара пользователя


01/12/11
8362
maxal
Великолепно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера невообразимости числа
Сообщение11.06.2018, 08:46 


21/05/16
2464
Аделаида
А для каждого ли числа $k$ существует число с мерой равной $k$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group