Мера невообразимости числа

[Ktina]

Мера невообразимости натурального числа $n>1$ показывает, во сколько первых степеней его можно возвести таким образом, чтобы сложив цифры результата (перед этим при необходимости сгруппировав некоторые или все из них, но не нарушая порядок), получить само число.

Поясню вышесказанное на примере числа 55:

$$55^1=55,\quad 55=55$$

$$55^2=3025,\quad 30+25=55$$

$$55^3=166375,\quad 1+6+6+37+5=55$$

$$55^4=9150625,\quad 9+15+0+6+25=55$$

$$55^5=503284375,\quad 5+0+3+28+4+3+7+5=55$$

А вот в шестую степень возвести число 55 подобным образом уже не удастся, так как в результате получится 27680640625 и "сделать" из этого числа число 55 не получится.
Таким образом, мера невообразимости числа 55 равна 5.

Существуют ли числа с большей мерой невообразимости? Как их найти? Для любого ли натурального $k$ существует натуральное $m$ с мерой невообразимости, превышающей $k$?

[maxal]

Число 45 имеет меру 6, число 91 - меру 10.

[Ktina]

maxal в сообщении #1317912 писал(а):

Число 45 имеет меру 6, число 91 - меру 10.

А может ли быть число, например, с мерой 100?

[maxal]

Числа имеющие меру $\geq 2$ представлены в A038206.

[Ktina]

maxal в сообщении #1317916 писал(а):

Числа имеющие меру $\geq 2$ представлены в A038206.

Большое спасибо!

[maxal]

Ktina в сообщении #1317913 писал(а):

А может ли быть число, например, с мерой 100?

Да, у числа 990 мера равна 107.
Вообще же, проблемно "продраться" через маленькие степени (квадраты, кубы и т.д.), а для больших степеней (с большим количеством цифр) появляется больше шансов получить нужную сумму. Конечно, это возможно только пока сумма цифр степени числа не превосходит самого числа.

-- Thu Jun 07, 2018 09:17:37 --

Вычислительное подтверждение такое.

Пусть $b(n)$ - это максимальное целое число $q$ такое, что сумма цифр числа $n^i$ не превосходит $n$ для всех $i=1,2,\dots,q$. Понятно, что $b(n)$ является верхней гранью для меры невообразимости $n$.
Оказывается, что для всех указанных на текущий момент элементов последовательности A038206, начиная с $n=379$, их мера невообразимости равна или 2, или $b(n)$.
То есть, "продравшиеся" через квадрат (что означает принадлежность к A038206) и куб, с легкостью достигают своего теоретического максимума по мере невообразимости. А именно, к таковым относятся элементы мерами равными $b(n)$:

n   b(n)
675 50
945 68
964 71
990 107
991 71
1296 84
1702 114
2728 173
4879 285
5050 403
5149 300
5292 309

[maxal]

Добавил последовательности A305706 ($=b(n)+1$) и A305707 (числа, мера которых равна $b(n)$).

[Ktina]

maxal
Великолепно!

[kotenok gav]

А для каждого ли числа $k$ существует число с мерой равной $k$?