Ряд с полиномами Лежандра

[SCW]

Добрый вечер

Мне интересен вопрос сходимости ряда

$$ \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x) e^{int}, $$

где $P_n(x) \, -$ полином Лежандра порядка $n$, а $x \in [-1,1], \, t -$ действительные параметры.

Мне известно, что для произвольного комплексного числа $z$, такого, что $|z|<1$, справедлива формула

$$\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x) z^n = g(x,z) = \frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^2}} . \qquad (1)$$

Но в моем случае $|z|=1$, а на круге $|z|=1$ функция $g(x,z)$ имеет особенности, что влечет за собой неприменимость формулы $(1)$.

[novichok2018]

Общий член никогда не стремится к нулю, непросто сойтись...
И я не уверен, что область сходимости - круг, там вроде по Лежандрам эллипс. Не помню точно.

[SCW]

novichok2018, особые точки функции $g(x,z)$ при $x \in [-1,1]$ задаются соотношением

$$z = x \pm \sqrt{x^2-1} = \cos \theta \pm i \sin \theta, $$

то есть лежат на окружности $|z|=1$.

Интересно, как ведет себя ряд, приведенный в начале темы, на этой окружности.

[novichok2018]

тут же не только дело в круге по $z$, но и при каких $x$ этот круг каждый раз рассматривать. Например, Вы включили $x=\pm 1$, при этих расходится.

[SCW]

novichok2018, действительно. Тогда правильно ли я понимаю, что если $x$ и $t$ таковы, что не зануляют знаменатель $g(x,e^{it})$, то формула $(1)$ применима? Случаи $x=-1,\,1$ рассматривать не будем.

[ex-math]

Вообще говоря нет. Поведение ряда на границе круга сходимости может быть самым разнообразным, даже если сумма ряда аналитична в соответствующей точке. Это видно уже на примере рядов типа $\sum_{n=1}^\infty z^n/n^a$.

[SCW]

ex-math, спасибо за ответ.

Хочется узнать, существует ли обобщение формулы $(1)$ на случай, когда на месте $x$ стоит комплексный параметр $w$? Если да, то при каких значениях $w$ это обобщение справедливо? Мне не удалось найти нужной информации в справочниках.