Полярный момент инерции цилиндрической поверхности

[Men007]

Найти полярный момент инерции полной цилиндрической поверхности $x^{2}+y^{2}=R^{2} $заключенной между плоскостями $0 \leqslant z \leqslant h$

Решение:
Полярный момент инерции вычисляется:
$I_{0}=\int\limits\int\limits_{S} (x^{2}+y^{2}+z^{2})dS$

Спроецируем поверхность цилиндра на ось $Oxy$:

$\int\limits\int\limits_{S} f(x,y,z) dS=\int\limits\int\limits_{D} f(x(y,z),y,z) \sqrt{1+(x_{y})^{2}+(x_{z})^{2}}dydz$
Тогда:
$x=\sqrt{R^{2}-y^{2}}$
$x_{y}=-4y$
$x_{z}=0$

Следовательно:
$I=\int\limits\int\limits_{S} f(x,y,z) dS=\int\limits\int\limits_{D} (R^{2}+z^{2})\sqrt{1+4y^{2}}dydz$

Пределы интегрирования:

$-R \leqslant y \leqslant R$
$0 \leqslant z \leqslant h$

Таким образом, получим:
$I=\int\limits_{-R}^{R}\sqrt{1+4y^{2}} \int\limits_{0}^{h} (R^{2}+z^{2})dydz$.


Получил достаточно не простой интеграл. Решить его можно, но не уверен, что нужно, так как сомневаюсь в решении.
Не совсем разобрался в расстановке пределов при переходе от поверхностного интеграла первого рода к двойному интегралу.

[thething]

Уже не первая такая тема, и у меня возникает вопрос: а зачем всё делать строго по определению, если можно перейти к цилиндрическим координатам (использовать формулу с $\sqrt{EG-F^2}$) и вопросов с расстановкой пределов интегрирования вообще не возникнет. Попробуйте. Это первое.

Второе -- слова "полная цилиндрическая поверхность" означают, что $S$ -- это не только боковая поверхность, но и "крышки" сверху и снизу. К счастью, интегралы по этим крышкам считаются элементарно (собственно, там даже интегралы считать не надо, а только воспользоваться геометрическим смыслом).

-- 04.06.2018, 06:31 --

Men007 в сообщении #1317116 писал(а):

Тогда:
$x=\sqrt{R^{2}-y^{2}}$
$x_{y}=-4y$

Это как получилось?