Тождество с центральными биномиальными

[kthxbye]

Имеем

$\displaystyle\binom{an}{a}=n\sum\limits_{d|a}f(d)g_{n}(d-2)$

где

$\displaystyle\sum\limits_{d|a}f(d)=\binom{2a-1}{a}$

и

$\displaystyle g_{n}(m)=\begin{cases} 1,&\text{если $m<0$}\\ \sum\limits_{k=1}^{n-1}k^m,&\text{в противном случае} \end{cases}$

В данном конкретном примере нас интересует только $g_{n}(-1)$.

Как это можно доказать?