Является ли G фильтром? а ультрофильтром?

[Vovaaaa]

Собственно, такая задача, дано множество $G = \left\lbrace Y \subseteq \mathbb{Z} : (\exists X \in F)(X \subseteq Y) \right\rbrace$
Где $F$ -ультрафильтр на $\mathbb{N}$

Вопрос: Будет ли $G$ фильтром на $\mathbb{Z}$? А ультрафильтром?

Собственно, как думаю я. Чтобы доказать, что $G$ фильтр, надо пройтись по трём условиям фильтра.

1) $\varnothing \notin G$ (так как для пустого множества не существует ультрафильтра $F$ на $\mathbb{N}$) - ВЫПОЛНЕНО

2) если $a, b \in G$, то $a \cap b \in G$ - вот тут даже не понятно, выполнено или нет.

3) если $a \in G$ и $a \leqslant b$, то $b \in G$ - тоже не понятно для меня.

Подскажите пожалуйста 2 и 3 пункты.

А также еще с ультрафильтром, правильно я понимаю, если мы докажем, что G - фильтр, то надо доказать, чт оне существует другово фильтра $K$, что $G \subset K$. Если можите, подскажите тут тоже.

Спасибо за ответы.

[alcoholist]

разве $G$ не совпадает с $F$?

[beroal]

alcoholist в сообщении #1316998 писал(а):

разве $G$ не совпадает с $F$?

$F$ для $\mathbb{N}$, а $G$ для $\mathbb{Z}$.

Vovaaaa в сообщении #1316984 писал(а):

2) если $a, b \in G$, то $a \cap b \in G$ - вот тут даже не понятно, выполнено или нет.

Это упражнение по теории множеств. Пусть $a'\in G$ и $b'\in G$. По определению $G$, существуют $a\in F$ и $b\in F$ такие, что $a\subseteq a'$ и $b\subseteq b'$. Из свойств фильтра следует, что…

Если я не ошибаюсь, здесь рассматривается частный случай понятия фильтр-образ (image filter). Пусть $\iota$ есть стандартная инъекция $\mathbb{N}$ в $\mathbb{Z}$. Тогда $G$ есть фильтр-образ $F$ по $\iota$.

Vovaaaa в сообщении #1316984 писал(а):

А также еще с ультрафильтром, правильно я понимаю, если мы докажем, что G - фильтр, то надо доказать, чт оне существует другово фильтра $K$, что $G \subset K$. Если можите, подскажите тут тоже.

Может быть легче использовать альтернативное определение ультрафильтра, а именно, ультрафильтр есть фильтр такой, что для любого подмножества $Y$ само $Y$ или дополнение к $Y$ принадлежит этому фильтру.

[george66]

Будет и фильтром, и ультрафильтром. Для каждого подмножества $Y\subseteq\mathbb{Z}$ назовём ядром $Y$ (слово можно и другое выбрать) множество всех его натуральных элементов (натуральных чисел, принадлежащих $Y$). Тогда $Y$ принадлежит $G$ если и только если ядро $Y$ принадлежит $F$ (проверьте). Дальше легко проверить, что $G$ фильтр (пересечению множеств соответствует пересечение ядер). Чтобы проверить, что $G$ ультрафильтр, следует проверить свойство, которое выше выписал beroal. Или есть ещё более простое свойство: если объединение двух множеств принадлежит ультрафильтру, то одно из них (или оба) принадлежит ультрафильтру (фильтр является ультрафильтром если и только если верно это свойство).