Рога и Клещи

[GANJE]

Преамбула:
Прошу прощения, что давно не заходила и не занималась темой, с которой просила помочь. Я бы ещё год или два не занималась, но вчера, находясь в голодном обмороке (некоторые люди падают в голодный обморок не потому что нечего кушать, а потому что не очень умные), сочинила какую-то штуку, которая мне почему-то понравилась. Поскольку о математике я очень хорошо знаю из книжек вроде «Дискретная математика для олигофренов», «Поваренная книга этатиста» и «Математические развлечения», а там совершенно естественно отсутствует энциклопедичность и обобщение, а встречаются только те темы, которые очень понравились автору, вполне возможно, что эта ерундистика не представляет никакой действительной ценности и сродни рисованию на бумажке во время телефонного разговора.

Содержание:
Пусть у нас есть чугунные, а лучше стальные (объясню в конце) скобы. Условно обозначим их буквами C и S, их ориентацию можно обозвать спином:

В центре каждой скобы вы можете видеть точку. Это центр розетки. Розеткой я назвала группу из нескольких скоб.
Например, розетки из 2 скоб:

Обозначения я взяла от балды, потому что может оказаться, что все эти ориентации, спины и прочие формулы не представляют никакой ценности.
Назовём рогами пару соседних вершин, у которой концы скоб торчат в разные стороны, а клещами – пару соседних вершин, в которой концы скоб смотрят друг на друга (на последнем рисунке 2C у нас 1 клещи и 1 рога).
Сразу же (на розетке из трёх скоб) возникло три вопроса, на два из которых вы дадите мгновенный и исчерпывающий ответ. Пока покажу 6-, 8- и 10-конечные (3, 4 и 5 скоб соответственно) розетки:

С 8 и 10 концами скоб я уже не заморачивалась, главное, чтоб было понятно, какая скоба какой формы и куда указывает:



Вот мои три вопроса:
1) Можно ли по числу вершин (нечётное число сразу отпадает, ведь тогда у нас должна остаться полскоба – кочерга) сразу сказать, как и из каких скоб можно составить розетку, чтобы у нас были одни только клещи? Единственен ли такой набор скоб? Повороты и отражения можно учитывать, а можно не учитывать – тут что-то про комбинаторику. То же с рогами - надо просто брать пары вершин со смещением на одну, и тогда у нас набор рогов, а не клещей.
2) Похоже, что первая выбранная скоба (C или S) задаёт весь характер розетки. Ведь если мы начнём со скобы C, то последовательно, флипая (спасибо К. Булычёву) через центр, мы обойдём все вершины, не пропуская ни одной. В то же время, если мы возьмём скобу S, ей должна отвечать скоба 2, и розетка разбита на две не соседние области, причём (не доказано), использовать в них скобы C нельзя, ибо последовательно переходя по вершинам, мы упрёмся рогом в край области, то есть у нас будет незамкнутая вершина. Если делать розетку из скоб S, надо, чтобы число вершин в оставшихся областях было чётно, иначе останутся не замкнутые концы. Вообще, можно ли составить розетку из разных скоб? Если не получается с конечным числом вершин, можно ли как-то использовать бесконечное число вершин? (Я видела классные ролики на ютубе про бесконечности, ничего не поняла, но увлекательно.) А что, если скобы гнуть? То есть чтобы они соединяли не диаметрально противоположные вершины? Для этого нужна сталь.
3) САМЫЙ ГЛАВНЫЙ ВОПРОС: нафиг всё это нужно и есть ли этому какое-либо применение? Может быть, кто-то такое уже сочинял?

-- 02.06.2018, 00:29 --

Когда казалось, что всё это просто, хотелось использовать спин для обозначения «правильной» розетки – если спин = 0, то количество концов в одну сторону равно количеству концов в другую сторону. (Необходимо, но не достаточно.) Вроде так. Но потом я запуталась. Вам-то всё сразу понятно.

-- 02.06.2018, 00:30 --

Розетка из одной скобы C содержит сразу и клещи и рога.

[maxal]

GANJE в сообщении #1316762 писал(а):

как и из каких скоб можно составить розетку, чтобы у нас были одни только клещи?

Непонятно, что значит "одни только клещи". Соседние клещи обязательно дают также рога посередине между ними.

-- Fri Jun 01, 2018 15:51:28 --

Напомнило мою статью про "молчаливые круги" (silent circles): https://arxiv.org/abs/1602.01396
По сути ваши скобы это аналог тамошних gaze, по ним можно стоить граф переходов и считать розетки с заданным числом типов скоб, клещей и рогов.

[mihaild]

Зафиксируем какой-нибудь конец скобы, будем обходить всё по часовой стрелки и писать $0$, встретив загиб по часовой стрелки, и $1$ - против. Получим строчку из $2n$ нулей и единиц. Будем считать, что за последним ее символом идет первый.
Тогда рога - это $10$ в этой строке, клещи - $01$. Если в (закольцованной) строке есть последовательность $01$, то обязательно есть и $10$.
Ну и подсчет числа этого всего - это ровно задача об ожерельях.

[maxal]

mihaild в сообщении #1316768 писал(а):

Ну и подсчет числа этого всего - это ровно задача об ожерельях.

Если требуется также учитывать типы скоб, то это уже не совсем ожерелья.

[mihaild]

maxal в сообщении #1316771 писал(а):

Если требуется также учитывать типы скоб, то это уже не совсем ожерелья.

Почему? По $i$-му и $i+n$-му символу однозначно восстанавливается скоба: $01$ - $C$, $10$ - $\reflectbox{C}$, $00$ - $S$, $11$ - $\reflectbox{S}$. Ну и обратно так же.

[maxal]

mihaild, соответствие однозначно, но применить его для подсчета розеток с заданными количествами скоб каждого типа и клещей/рогов не так-то просто.

[GANJE]

Действительно, эту чепуху можно также представить как замкнутый список с чётным числом ячеек, а одна скоба будет иметь один конец в ячейке $i \in N$, а второй в ячейке $i+N/2$, где $N$ – длина списка. Рисунок не стала выкладывать, уж больно коряво. А если скобы гнуть, то делить не на 2, а на что-то другое. Или наоборот прибавлять к $i$. Тут ещё надо подумать, как правильно, и надо ли, чтобы кратно. Вроде надо, чтобы $N$ было чётно, ведь кочерёг и трёх- и более-конечных скоб я не придумала.
Если кто-то найдёт эту чушь полезной, он может придумать сколько угодно расширенных обходов и их вариантов.