Вопросы по "Unit-Distance Graphs with Chromatic Number 5"

[kotenok gav]

Отделено от темы Top-10/5 в математике
// maxal

maxal в сообщении #1316635 писал(а):

Уже опустили до 553: https://arxiv.org/abs/1805.12181

Мне там одна вещь непонятна:

Цитата:

Given a positive integer $i$, we denote by $\theta_i$ the rotation around point $(0, 0)$ with angle $\arccos(\frac{2i-1}{2i})$ and by $\theta^k_i$ the application of $\theta_i$ $k$ times. Let $p$ be a point with distance $\sqrt{i}$ from $(0, 0)$, then the points $p$ and $\theta_i(p)$ are exactly distance $1$ apart and thus would be connected with an edge in a unit-distance graph.

А у меня получается, что точки $p$ и $\theta_i(p)$ находятся на расстоянии $\sqrt{1-\frac1{4i}}$. Кто прав?

[Neoguri]

У меня получается:

$ a^2 = b^2+c^2-2bc \cos(\alpha) = (\sqrt{i})^2 + (\sqrt{i})^2 - 2 (\sqrt{i})^2 \cos\left(\arccos \left(\frac{2i-1}{2i}\right)\right) = i+i-2i\frac{2i-1}{2i} = 2i-(2i-1)=1$

[kotenok gav]

А у меня так:
$b^2=c^2-a^2=i-\frac{(2i-1)^2}{4i}=1-\frac1{4i}$.

[maxal]

kotenok gav - учите теорему косинусов.

[kotenok gav]

Так я прямоугольный тр-к рассмотрел.

[maxal]

kotenok gav в сообщении #1316712 писал(а):

Так я прямоугольный тр-к рассмотрел.

С какой стати, если $\theta_i$ определен как поворот на угол $\arccos(\frac{2i-1}{2i})$ ?

[kotenok gav]

maxal в сообщении #1316716 писал(а):

С какой стати, если $\theta_i$ определен как поворот на угол $\arccos(\frac{2i-1}{2i})$ ?

Так этот угол - угол при катете и гипотенузе прямоугольного тр-ка.

[maxal]

kotenok gav нет там прямоугольного треугольника. Аркосинус - это угол между сторонами $Op$ и $O\theta_i(p)$ в треугольнике $Op\theta_i(p)$. Соответственно, длина стороны $p\theta_i(p)$ вычисляется через теорему косинусов как показано выше.