Числовое множество, представимое как орбита

[Ktina]

Пусть орбита - множество значений, получаемых последовательным применением заданной функции к заданному элементу:

$$\Omega_f(a) = \{a, f(a), (f \circ f)(a), \dots, (f \circ \dots \circ f)(a), \dots\}$$

Легко представить множество всех целых неотрицательных чисел как орбиту. Достаточно задать $a=0,\quad \forall r\in\mathbb R:\quad f(r)=r+1$

Чуть труднее сделать то же самое со множеством всех целых чисел (примера "без ифа" у меня не получилось):

$$a=0,\quad \forall r\in\mathbb R:\quad f(r)= \begin{cases} \ \ -r+1, & r\leqslant 0 \\ \ \ -r, & r>0\end{cases}$$

А представимо ли множество всех рациональных чисел подобным образом?

(Вещественных, я думаю, непредставимо, поскольку их всего континуум, а орбита счётна. Хотя, я могу ошибаться...)

[kotenok gav]

Ktina в сообщении #1316654 писал(а):

А представимо ли множество всех рациональных чисел подобным образом?

Модифицируйте немного доказательство счетности рациональных.

[arseniiv]

Да, именно, любое счётное и менее мощное множество так представимы, и любое множество большей мощности так уже не представимо. Раз тема возникла, возможно, есть интерес выписать такое общее доказательство.

[gris]

Надо бы определить требования к функции. А то бы я предложил такую:
Пусть $\mathrm{K}(n): \mathbb { N\to Q}$ некоторая нумерация множества рациональных чисел (или любого счётного множества), при которой $\mathrm{K}(1)=0$.
Тогда функция $\mathrm{K}(\mathrm{K}^{-1}(q)+1)$ подойдёт Начинаем с нуля.

[arseniiv]

Ну вот вы почти всю задачу за ТС и решили.

-- Пт июн 01, 2018 15:56:04 --

gris в сообщении #1316683 писал(а):

Начинаем с нуля.

Для упрощения можно даже не вводить требование $K(1) = 0$ и сказать здесь «начинаем с $K(1)$».