Является ли число 36 единственным натуральным числом...?

[Ktina]

Является ли число 36 единственным натуральным числом, у которого сумма десятичных цифр, произведение десятичных цифр и само число образуют строго возрастающую геометрическую прогрессию?

[gris]

Ну разве $735: 15\cdot 735=105^2$

[Ktina]

gris в сообщении #1316256 писал(а):

Ну разве $735: 15\cdot 735=105^2$

Изумительно! А ещё?

[gris]

Можно приближённо? Например $45: 9/20.12/45$ Нормулёк.

[mihaild]

До миллиарда больше нет A270393 (и на этот раз я вроде бы правильную последовательность нашел).

[gris]

Интересно, что приближённые решения, если приближённость оценивать по близости отношения $r=s\cdot n/p^2$ к единице, существуют, я думаю, с любой точностью и с обоих сторон от единицы. Например: $r(666541)=1.00004;r(814299)=0.99993$. Это говорит о том, что объяснить отсутствие пропорций будет нелегко.
Ещё интересно, а приближённые соотношения используются при исследованиях в теории натуральных чисел? Ведь могло бы быть, что начиная с некоторого числа $r<1$.

[mihaild]

gris в сообщении #1316280 писал(а):

Ведь могло бы быть, что начиная с некоторого числа $r<1$.

Не могло бы. Для числа $n$ из $k$ единичек это соотношение равно $kn \gg 1$. А для числа из из $k$ девяток - $\frac{(10^k - 1) \cdot 9k}{9^{2k}} \ll 1$.
Для числа из $k$ троек это соотношение падает примерно как $\left(\frac{9}{10}\right)^k$, из $k$ четверок - растет примерно как $\left(\frac{16}{10}\right)^k$, при замене тройки на четверку меняется монотонно, при перестановке тройки и четверки местами меняется не очень сильно - так что интуитивно похоже, что оно бывает сколь угодно близко к единице.

[maxal]

mihaild в сообщении #1316266 писал(а):

До миллиарда больше нет A270393 (и на этот раз я вроде бы правильную последовательность нашел).

Проверил до $10^{200}$ - других решений нет.

[Ktina]

maxal в сообщении #1316392 писал(а):

Проверил до $10^{200}$ - других решений нет.

Не расскажете, как Вы такое huge количество чисел проверили за приемлемое время?

[maxal]

Ktina, такие числа имеют вид $2^x\cdot 3^y\cdot 5^z\cdot 7^t$, где $x,y,z,t\geq 0$.

[waxtep]

Интересно, это особенность основания $10$, или другие так же "бедны" на подобные числа? Есть ли "богатые" основания?

[gris]

Ну в двоичной системе таких вообще нету

[grizzly]

waxtep в сообщении #1316599 писал(а):

или другие так же "бедны" на подобные числа? Есть ли "богатые" основания?

Глянул бегло (неглубоко) основания до 10 и факториальную -- не густо. Нашёл только $44_7, 176_8, 363_8$. Основание 8 не беднее, а других не нашёл.