Столкновение двух тел в СТО

[misha.physics]

Позволю себе ещё вопрос по лекциям Фейнмана. Глава 16, $\S$ 4. (Да, понимаю, что о релятивистской массе сейчас не говорят, но хотелось бы что-то понять здесь.)

Есть такая картинка:


Не знаю, что здесь нужно добавить. Здесь удар как видно нецентральный. В противном случае, тела бы разлетелись вдоль той же прямой, по которой двигались до столкновения.

Этот пример используется в приминении к СТО. Но можем ли мы его рассматривать в классической механике Ньютона? Где нет никаких "релятивистских корней". И где импульс $\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}$, масса постоянна. Если предположить, что можем, то возникают вопросы. На рисунке общий вектор импульса тел до столкновения равен общему вектору импульсу тел после столкновения. От равен нулю. Сохраняются также горизонтальные и вертикальные составляющие импульсов.

Теперь рассмотрим это столкновение из движущейся системы координат со скоростью, совпадающей с горизонтальной скоростью одной из частиц. Получим что-то такое:



Но здесь видно, что даже в векторной форме закон сохранения импульса не сохраняется. Стрелки общих импульсов до и после столкновения просто напросто направлены в разные стороны.

Вопрос: этот пример используется в СТО. Но почему нельзя рассмотреть его в классической механике? Или если можно, то как справиться с этой трудностью об несохранении импульса? (Если она возникает, а не я что-то напутал, конечно.)

-- 29 май 2018, 20:03 --

Все дело в том, что столкновение нецентральное? Значит, здесь не годятся наши привычные рассуждения о центральних упругих ударах? Я что-то не припомню, закон сохранения импульса соблюдается при нецентральном ударе? Здесь ведь можно ещё говорить о форме сталкивающихся тел и т. д. Все усложняется.

(Оффтоп)

Кто-то знает, что означает "Фиг. 16.2" в подписях на картинках? То есть, что стоит за сокращением "Фиг."? Мне только какие-то "фигурки" приходят на ум

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1316054 писал(а):

Но здесь видно, что даже в векторной форме закон сохранения импульса не сохраняется.

На рис. а суммарный импульс направлен влево и сохраняется. На рис. б суммарный импульс направлен вправо и сохраняется. В обоих случаях импульс сохраняется, но зависит от выбранной системы отсчёта. И в СТО, и в ньютоновской механике. Где вы тут увидели несохранение импульса?

[iifat]

misha.physics в сообщении #1316054 писал(а):

что стоит за сокращением "Фиг."?

Фигура

[EUgeneUS]

misha.physics в сообщении #1316054 писал(а):

Но почему нельзя рассмотреть его в классической механике?

можно

misha.physics в сообщении #1316054 писал(а):

Или если можно, то как справиться с этой трудностью об несохранении импульса?

Легко: несохранения импульса нет, сохранение импульса есть.

misha.physics в сообщении #1316054 писал(а):

Но здесь видно, что даже в векторной форме закон сохранения импульса не сохраняется. Стрелки общих импульсов до и после столкновения просто напросто направлены в разные стороны.

Стрелки общих импульсов ($\vec{u}$) направлены как полагается - в одну сторону. Стрелки для одной частицы ($\vec{\omega}$) нарисованы неудачно - выглядят несколько длиннее, чем нужно. Но может из-за качества копии картинки...

[arseniiv]

(О фиг(ур)ах)

misha.physics в сообщении #1316054 писал(а):

Кто-то знает, что означает "Фиг. 16.2" в подписях на картинках? То есть, что стоит за сокращением "Фиг."? Мне только какие-то "фигурки" приходят на ум

Насколько лично я понял, это прямой перевод англ. fig. < figure (где это нормальное название подобного вида иллюстраций), ну а полную версию этой кальки, видимо, подразумевается читать «фигура». (Если ниже будут приведены свидетельства очевидцев, не обращайте внимание на мои домыслы.)

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1316054 писал(а):

Здесь удар как видно нецентральный. В противном случае, тела бы разлетелись вдоль той же прямой, по которой двигались до столкновения.

Здесь тела - материальные точки, поэтому прямая, вдоль которой они разлетаются, попросту может оказаться произвольной. Что-то конкретное появится, если появится конкретный механизм взаимодействия при ударе (и, да, один из вариантов - нецентральное столкновение шаров и т.п.).

misha.physics в сообщении #1316054 писал(а):

Но здесь видно, что даже в векторной форме закон сохранения импульса не сохраняется. Стрелки общих импульсов до и после столкновения просто напросто направлены в разные стороны.

А почему не сохраняется?

misha.physics в сообщении #1316054 писал(а):

Кто-то знает, что означает "Фиг. 16.2" в подписях на картинках? То есть, что стоит за сокращением "Фиг."? Мне только какие-то "фигурки" приходят на ум

Калька с английского Fig., что, в свою очередь, сокращение от Figure - "рисунок, иллюстрация". Зачем - неведомо.

[amon]

misha.physics в сообщении #1316054 писал(а):

Но можем ли мы его рассматривать в классической механике Ньютона?

Вот давайте с классики и начнем. Сталкиваются два шарика. Шарики настолько мелкие, что энергией вращения можно пренебречь. Другими словами, считаем, что момент инерции шариков ноль. Тогда есть два закона сохраниния = энергии и импульса. Сначала рассмотрим задачку из системы центра масс. По определения в системе центра масс до столкновения сумма импульсов налетающих частиц - ноль, то есть $\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=0.$ Это значит, что "стрелочки" $\mathbf{p}_1$ и $\mathbf{p}_2$ до столкновения одинаковы по длине и направлены в противоположные стороны. Кроме того, энергия системы двух шариков будет $\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}=E.$ Чуть преобразовав, получим $\frac{p_1^2}{2m_1E}+\frac{p_2^2}{2m_2E}=1,$ то есть, эти стрелочки концами лежат на эллипсе. После столкновения сумма новых импульсов будет снова ноль, значит вектора импульсов после столкновения опять одинаковы по длине и направлены в противоположные стороны. При этом ни кто не сказал, что эти импульсы равны старым. Единственное условие на них - закон сохраниния энергии. Значит $\frac{p_1^{'2}}{2m_1E}+\frac{p_2^{'2}}{2m_2E}=1,$ и концы новых стрелочек опять должны лежать на том же эллипсе. Как повернутся новые стрелочки относительно старых в такой постановке узнать невозможно, надо привлекать дополнительную информацию о характере столкновения, но картинка останется всегда такой с точностью до угла поворота.

[misha.physics]

Достаточно рассмотреть только рисунок $a$. До столкновения общая стрелка импульса идет налево вверх, а после столкновения - налево вниз. Ааа, наверное действительно это из-за неправильного масштаба. То есть вертикальные скорости обоих частиц одинаковы? Значит $\omega=u\tg \alpha$? Меня просто смутило, что у второй частицы есть ещё горизонтальная скорость. Но действительно никто не говорил (а я почему-то подумал), что если абсолютные скорости частиц в одной системе были одинаковы, то они будут такими же в другой системе отсчета, которая движется. Да, кажется я понял свою ошибку. Значит, импульс всё-таки сохраняется :)

-- 29 май 2018, 20:32 --

Отлично, если вертикальные скорости равны, то сумарные векторы скорости (а значит и импульсы) до и после столкновения направлены в одну сторону. Просто влево. Ни вниз, ни вверх. Это я о рисунке $a$.

-- 29 май 2018, 20:35 --

Видимо заблуждение у меня возникло из-за отсутствия опыта с рассмотрением тел, движущихся к нам под углом, когда мы рассматриваем их из движущейся СО. А именно, из-за отсутствия интуитивного опыта с компонентами скоростей, когда мы движемся "под углом".

[wrest]

misha.physics
Импульс в замкнутых системах сохраняется всегда. Даже если составляющие эту систему части — релятивистские, например фотоны.

Редко что сохраняется всегда, вот импульс одна из таких редких сохраняющихся штуковин.

[misha.physics]

amon,

Цитата:

Чуть преобразовав, получим $\frac{p_1^2}{2m_1E}+\frac{p_2^2}{2m_2E}=1,$ то есть, эти стрелочки концами лежат на эллипсе.

Это было интересно. Про элипс. Я так понял, что это условие не столько на направление векторов импульса, сколько на их длины. Ну как в определении эллипса как множества точек...

Цитата:

При этом ни кто не сказал, что эти импульсы равны старым.

Да, я помню, читал у того же Фейнмана, что то, что импульсы будут равными это заслуга не закона сохранения импульса, а закона сохранения энергии.

-- 29 май 2018, 20:48 --

wrest в сообщении #1316077 писал(а):

misha.physics
Импульс в замкнутых системах сохраняется всегда. Даже если составляющие эту систему части — релятивистские, например фотоны.

Редко что сохраняется всегда, вот импульс одна из таких редких сохраняющихся штуковин.

Да, главное понимать, о каких импульсах мы говорим. А то можно придумать себе такие сложные системы, из множества частиц, а ещё если они имеют какую-то форму... Нужно потрудиться чтобы получить:

$$\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}'$$

[wrest]

misha.physics в сообщении #1316080 писал(а):

Да, главное понимать, о каких импульсах мы говорим. А то можно придумать себе такие сложные системы, из множества частиц, а ещё если они имеют какую-то форму...

ЗСИ запрещает безопорные двигатели, невзирая на сложность систем.

[amon]

misha.physics в сообщении #1316080 писал(а):

то, что импульсы будут равными это заслуга не закона сохранения импульса, а закона сохранения энергии.

С точностью до наоборот. Равенство импульсов следует из закона сохранения импульса и того, что мы находимся в системе центра масс. В ней до столкновения полный импульс был ноль, значит и после он нулем останется. Значит вектора импульсов после столкновения должны "сложиться в ноль". А эллипс возникает как раз из закона сохранения энергии.

[misha.physics]

amon,
я наверное неточно выразился. Да, если до столкновения суммарный импульс был ноль, то и после столкновения он сложиться в ноль. Импульсы это направленные величины, стрелки должны скомпенсироваться противоположными направлениями. А то, что после упругого разлёта скорости (импульсы) будут одинаковы по величине это заслуга сохранения энергии. В неупругом ударе, например, импульс сохраняется (тело остановиться), хотя кинетическая энергия уже не сохранится (перейдёт в другую форму).

-- 29 май 2018, 21:29 --

Имеется ввиду, что скорости до и после столкновения будут одинаковы. В этом заслуга ЗСЭ.

[wrest]

misha.physics в сообщении #1316099 писал(а):

Имеется ввиду, что скорости до и после столкновения будут одинаковы. В этом заслуга ЗСЭ.

Вот энергия как раз не всякая и не всегда сохраняется, в отличие от импульса :)
Всегда сохраняется только полная энергия.

[misha.physics]

wrest, да, это все относилось к абсолютно упругому удару. Я даже навел пример, где не всякая (в том примере кинетическая) энергия сохраняется.