Подмножество числового поля

[Qlin]

Верно ли, что все числа вида $q_0+q\sqrt{2}$ (где $q_0,q \in \mathbb{Q}$) с естественно определенными операциями образуют поле?

Я пытаюсь действовать от противного. Пусть имеется такое поле $F$, и $q_0 \cdot q \neq 0 \rightarrow \frac {1}{q_0+q\sqrt{2}} \in F$. Тогда $\exists v_0,v \in \mathbb{Q} \ \frac {1}{q_0+q\sqrt{2}}=v_0+v\sqrt{2}$. Тогда $1=(q_0 \cdot v_0+2qv)+(q_0\cdot v + qv_0)\sqrt{2}$. Слева рациональное число, справа — иррациональное. Из противоречия получается, что $F$ не может быть полем.

[mihaild]

Qlin в сообщении #1315692 писал(а):

Слева рациональное число, справа — иррациональное.

Всегда ли? Например, подставьте $q = v = 0, q_0 = v_0 = 1$.

[Qlin]

Не всегда, но... Я построил доказательство для случая $q_0 \cdot q \neq 0$. Если хотя бы для одного такого числа не существует обратного, то аксиома поля не выполняется. Значит остальные ситуации можно уже не рассматривать?

-- 28.05.2018, 19:35 --

Наверное, такое доказательство не пойдет. Чтобы сохранить рациональность, надо требовать:
$q_0 \cdot v_0+2qv=1$
$q_0\cdot v + qv_0=0$
При конкретных $q,q_0$ система либо решаема относительно $v,v_0$, либо нет.

[mihaild]

Qlin в сообщении #1315696 писал(а):

Я построил доказательство для случая $q_0 \cdot q \neq 0$.

Да, не заметил.
Но всё равно - где вы этим неравенством пользовались?

Qlin в сообщении #1315696 писал(а):

При конкретных $q,q_0$ система либо решаема относительно $v,v_0$, либо нет.

Это уже работающий метод. А можете определить, когда эта система разрешима?

[Qlin]

$v=-\frac{qv_0}{q_0}$
$q_0 \cdot v_0-\frac{2qqv_0}{q_0}=1$
$2v_0q^2=q_0^2v_0-q_0$
$q^2=q_0(q_0v_0-1)/2v_0$
Отсюда ясно, что $q$ либо ноль, либо иррациональное.

-- 28.05.2018, 20:15 --

Qlin в сообщении #1315709 писал(а):

Но всё равно - где вы этим неравенством пользовались?

Тут уже нужно им воспользоваться. Пусть $q_0 \cdot q \neq 0$, что позволяет делить на них.

[mihaild]

Qlin в сообщении #1315709 писал(а):

Отсюда ясно, что $q$ либо ноль, либо иррациональное.

Не ясно и вообще неправда: возьмите $q_0 = 1, v_0 = -1$.

[Qlin]

Еще подходящего $q$ может не быть. Когда под корнем оказывается отрицательная величина, уравнение не имеет решений в вещественных числах.

(Оффтоп)

Кажется, я хотел решить относительно $v,v_0$, но, надеюсь, это уже не принципиально.

-- 28.05.2018, 20:33 --

Я понял. Тут извлекается корень из некоторого рационального числа. Либо результат рационален, либо иррационален, либо его не существует. Иррациональность появляется, когда в числителе или знаменателе подкоренной дроби (приведенной к несократимому виду) не получается точный квадрат.

[mihaild]

Qlin в сообщении #1315721 писал(а):

Кажется, я хотел решить относительно $v,v_0$, но, надеюсь, это уже не принципиально.

Принципиально: вы не можете зафиксировать $q_0$ и при этом еще что-то требовать от $v_0$.

Раз в общем виде сложности, давайте посмотрим конкретный пример. Скажем, можете ли вы представить $\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ в виде $a + b\sqrt{2}$?

[Munin]

Qlin
Проходили ли вы "избавление от иррациональности в знаменателе"?
Если да, то можете ли вы в явном виде привести выражение $\dfrac{1}{q_0+q\sqrt{2}}$ к виду $v_0+v\sqrt{2}$?

[Qlin]

Munin, не проходил. Не знаю, смогу ли привести. Вся суть в этих уравнениях. Если решение у них есть, значит есть метод. Возможно, его удастся аккуратно выписать.

mihaild, думаю, тут тоже нужно получить некоторую систему уравнений.
$a+2b+(a+b)\sqrt{2}=1$
$\begin{cases} a+2b=1 \\ a+b=0 \\ \end{cases}$
$\begin{cases} a-2a=1 \\ b=-a \\ \end{cases}$
$\begin{cases} a=-1 \\ b=1 \\ \end{cases}$
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}}=-1+\sqrt{2}$
Исправлено.

[Munin]

Qlin в сообщении #1315736 писал(а):

Munin, не проходил.

А ведь это школьная программа.

Вот что выдаёт гугель первой ссылкой: http://открытыйурок.рф/статьи/528683/
Может быть, вам этого уже будет достаточно, чтобы что-то "щёлкнуло" в голове.

(Примечание: речь пока идёт только о квадратичной иррациональности простейшего вида, но для ваших целей сейчас достаточно.)

-- 29.05.2018 00:12:00 --

Qlin в сообщении #1315736 писал(а):

$a+2b+(1+b)\sqrt{2}=1$

Здесь уже описка: из ваших общих выкладок должно быть $a+2b+(a+b)\sqrt{2}=1.$

[Qlin]

Спасибо, я понял, как можно:
$\dfrac{1}{q_0+q\sqrt{2}}=\dfrac{q_0-q\sqrt{2}}{(q_0+q\sqrt{2})(q_0-q\sqrt{2})}=\dfrac{q_0-q\sqrt{2}}{q_0^2-2q^2}=\dfrac{q_0}{q_0^2-2q^2}-\dfrac{q}{q_0^2-2q^2}\sqrt{2}$

Munin в сообщении #1315739 писал(а):

А ведь это школьная программа.

Я уже забываю школьную программу.

[mihaild]

Да, правильно. Так в итоге образуют числа такого вида поле, или нет?

Ну и осталось показать, что $q_0^2 - 2q^2$ не обращается в $0$, если хотя бы одно из $q_0, q$ ненулевое.
(хотя это и почти очевидно)

[Qlin]

Пусть $q_0^2 - 2q^2=0$, тогда $q_0=\sqrt{2}q$.

mihaild в сообщении #1315752 писал(а):

Так в итоге образуют числа такого вида поле, или нет?

Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность следуют из аналогичных свойств для вещественных чисел. Замкнутость относительно сложения и умножения получается при раскрытии скобок. Замкнутость при делении теперь уже тоже доказана, значит будет поле.