Кинематика

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Уважаемые помогите разобраться. Задача: На пол кабины лифта, движущегося вертикально вверх с постоянной скоростью $u$, падает вертикально вниз упругий шарик. Определить скорость лифта, если после каждого удара шарик, не касаясь потолка, удаляется от пола лифта на максимальное расстояние за время $\tau=0,6 \, c$ , а за время между двумя последовательными ударами о пол проходит путь $L=4$ м относительно земли.
Обозначим:
$H$ - максимальная высота подъема шарика после отскока от пола лифта относительно покоящегося пола
$T$ - полное время полета шара после отскока до следующего удара о пол лифта
$t$ - время полета шара с максимальной высоты до удара о пол лифта
$v_0$ - собственная начальная скорость шарика после отскока

1. Из:
$\left\{ \begin{array}{rcl} H=(v_0+u)\tau - \frac{g\tau^2}{2}\\ 0=(v_0+u) - g \tau \\ \end{array} \right.$ находим: $H= \frac{g\tau^2}{2}$

2. путь, пройденный шаром с максимальной высоты до следующего удара о пол: $L-H$, и время на это: $t=\sqrt{\frac{2(L-H)}{g}}$

3. полное время полета шара между двумя ударами: $T=\tau+t=\tau+\sqrt{\frac{2(L-H)}{g}}$ и путь, пройденный лифтом за это время: $2H-L$ и скорость лифта: $u=\frac{2H-L}{T}=\frac{2 \frac{g\tau^2}{2}-L}{\tau+\sqrt{\frac{2(L-H)}{g}}} = \frac{g\tau-\sqrt{2Lg-g^2\tau^2}}{2}$

4. ответ в задачнике другой: $u=\sqrt{Lg-g^2\tau^2}$

Не могу понять, где я ошибаюсь?

[EUgeneUS]

Stensen

Максимальная высота $H$ разная в СО лифта и в СО земли. Более того, в разных СО она достигается в разные моменты времени.

-- 28.05.2018, 13:38 --

Stensen в сообщении #1315511 писал(а):

3. полное время полета шара между двумя ударами: $T=\tau+t=\tau+\sqrt{\frac{2(L-H)}{g}}$

Сразу можно сказать, что это ошибка.
Рассмотрим СО лифта. В лифте, так как он движется равномерно, ускорение свободного падения такое же, как и в СО Земли.

Тогда можно сразу сказать, что
а) время между ударами: $T=2\tau$
б) $H = \frac{g \tau^2}{2}$ ($H$ - максимальная высота в СО лифта).
в) $v=g \tau$ ($v$ - скорость сразу после отскока в СО лифта)

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1315515 писал(а):

б) $H = \frac{g \tau^2}{2}$ ($H$ - максимальная высота в СО лифта).
в) $v=g \tau$ ($v$ - скорость сразу после отскока в СО лифта)

Это даже не нужно, если я правильно понял условие задачи. Поскольку между ударами лифт проходит расстояние $L$.

[EUgeneUS]

DimaM
ИМХО, скорость в СО лифта понадобится.

[Walker_XXI]

DimaM в сообщении #1315525 писал(а):

Это даже не нужно, если я правильно понял условие задачи. Поскольку между ударами лифт проходит расстояние $L$.

Вроде как шарик проходит расстояние путь $L$. Если бы $L$ было путём лифта, то ответ был бы $u=L/2\tau$.

[EUgeneUS]

Walker_XXI в сообщении #1315531 писал(а):

Если бы $L$ было путём лифта, то ответ был бы $u=L/2\tau$.

или таки расстоянием, на которое сместился шарик относительно Земли , то получилась бы хорошая устная задача.
А так надо аккуратно посчитать длину пути шарика в СО Земли.

[DimaM]

У меня получился ответ, как в задачнике.

Stensen
Чему равна скорость шарика перед и после удара в системе лифта и в системе Земли?

[Stensen]

DimaM в сообщении #1315593 писал(а):

Stensen
Чему равна скорость шарика перед и после удара в системе лифта и в системе Земли?

Если ось направить вверх, то: минус до удара, плюс- после:
В СО лифта: $\pm g \tau$,
в СО земли: $u \pm g\tau$. Вроде так? Если верно, то меня смущает такой момент:

EUgeneUS в сообщении #1315515 писал(а):

Stensen
Максимальная высота $H$ разная в СО лифта и в СО земли. Более того, в разных СО она достигается в разные моменты времени.

То, что высота разная в разных СО понятно. Не укладывается в голове почему она достигается в разные моменты времени? Из условия задачи - человек, стоящий в лифте, замерил время подъема шара на максимальную высоту и получил время $\tau$. Из расчетов выходит, что человек на земле, получит время другое : $t=\frac{g\tau + u}{g}$ , но ведь реально максимальной высоты относительно земли шар достигнет в те же моменты времени, измеряемые в лифте и на земле? (или лифт движется с субсветовой скоростью )

[EUgeneUS]

Stensen в сообщении #1315844 писал(а):

в СО земли: $u \pm g\tau$. Вроде так? Если верно, то меня смущает такой момент:

Нет, не верно. Рассмотрите соударение шарика с движущейся стенкой.

Stensen в сообщении #1315844 писал(а):

Не укладывается в голове почему она достигается в разные моменты времени? Из условия задачи - человек, стоящий в лифте, замерил время подъема шара на максимальную высоту и получил время $\tau$. Из расчетов выходит, что человек на земле, получит время другое : $t=\frac{g\tau + u}{g}$ , но ведь реально максимальной высоты относительно земли шар достигнет в те же моменты времени, измеряемые в лифте и на земле?

1. Максимальной высоты относительно Земли шарик достигнет в те же моменты времени, что измеренные в лифте, что в СО Земли. Субсветовых скоростей нет, время - инвариант.
2. Но максимальная высота относительно Земли не будет максимальной высотой относительно пола лифта. И моменты будут другие.

Это просто понять:
1. В СО лифта функция $H(t)$ - последовательность парабол с одинаковыми ветвями. Очевидно.
2. В СО Земли функция $H(t)$ - последовательность парабол с разными ветвями, и получается этакая лесенка из парабол. Не менее очевидно.

Что эти функции связывает это:
а) одинаковое ускорения свободного падения
б) одинаковое время между двумя соседними ударами о пол лифта (время - инвариант)

[wrest]

Stensen в сообщении #1315844 писал(а):

То, что высота разная в разных СО понятно. Не укладывается в голове почему она достигается в разные моменты времени?

В тот момент, когда относительно лифта шарик остановился (достигнув максимальной высоты относительно пола лифта), то есть через $\tau=0,6$c после удара, относительно Земли шарик двигается вверх со скоростью лифта, и чтобы ему остановиться относительно Земли, должно пройти еще дополнительное время :)

[rascas]

EUgeneUS в сообщении #1315856 писал(а):

Stensen в сообщении #1315844

писал(а):
в СО земли: $u \pm g\tau$. Вроде так? Если верно, то меня смущает такой момент:

Нет, не верно.

Вроде верно. Такая скорость шарика до и после удара в СО земли и есть. (ось направлена вверх, минус до удара, плюс после)

[wrest]

rascas в сообщении #1315908 писал(а):

Вроде верно.

Ну как же... Вот у вас есть СО Земли, тяготения нет, в этой СО шарик движется влево со скоростью /плюс/ 1, а стенка движется навстречу, т.е. вправо, со скоростью /минус/ 3 (в СО Земли!). Какая будет скорость шарика в СО Земли после отскока?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1315844 писал(а):

В СО лифта: $\pm g \tau$,
в СО земли: $u \pm g\tau$. Вроде так?

Так.
Теперь следующий ход: сколько времени будет двигаться шарик от удара до верхней точки и от верхней точки до удара в СО Земли?

[EUgeneUS]

rascas в сообщении #1315908 писал(а):

Вроде верно. Такая скорость шарика до и после удара в СО земли и есть. (ось направлена вверх, минус до удара, плюс после)

упс, . Посчитал что ТС ошибся со знаками, а ошибся с ними сам.

[Stensen]

wrest в сообщении #1315906 писал(а):

В тот момент, когда относительно лифта шарик остановился (достигнув максимальной высоты относительно пола лифта), то есть через $\tau=0,6$c после удара, относительно Земли шарик двигается вверх со скоростью лифта, и чтобы ему остановиться относительно Земли, должно пройти еще дополнительное время :)

Уразумел.

DimaM в сообщении #1315969 писал(а):

Stensen в сообщении #1315844 писал(а):

В СО лифта: $\pm g \tau$,
в СО земли: $u \pm g\tau$. Вроде так?

Так.
Теперь следующий ход: сколько времени будет двигаться шарик от удара до верхней точки и от верхней точки до удара в СО Земли?

Если так, то:
$t_{up}=\tau+ \frac{g\tau+u}{g}$ - вверх,
$t_{down} =2\tau - t$ - вниз. Так?

EUgeneUS в сообщении #1315856 писал(а):

1. В СО лифта функция $H(t)$ - последовательность парабол с одинаковыми ветвями.
2. В СО Земли функция $H(t)$ - последовательность парабол с разными ветвями, и получается этакая лесенка из парабол.

Поясните пожалуйста, если $H$ это максимальная высота подъема шара, то что такое $t$ в функции $H(t)$ и по какому параметру получается последовательность?