Распределение Максвелла

[AlexeyM88]

Задача: Сколько процентов молекул азота при температуре $280 \text{К}$ обладает скоростями в интервале от $500 \text{м/с}$ до $510 \text{м/с}$?
Сомневаюсь в правильности своего решения.
Поскольку азот двухатомный газ, то молярная масса молекулы равна $M_{N_2} = 56 \cdot 10^{-3} \text{кг/моль}$ . Масса молекулы азота равна: $m_{0N_2} = \frac{M_{N_2}}{N_a} = \frac{56 \cdot 10^{-3}}{6.02 \cdot 10^{23}} = 9.3 \cdot 10^{-26} \text{кг}$
Средняя скорость равна: $V_{\text{ср}} = \frac{510+500}{2} = 505 \text{м/с}$
Приращение скорость: $\delta V = 510-500 = 10 \text{м/с}$
$\frac{\delta N(V)}{N} = 4 \cdot \pi \cdot (\frac{m_0}{2 \cdot \pi \cdot k \cdot T})^{\frac{3}{2}} \cdot e^{-\frac{m_0 \cdot V^2}{2 \cdot k \cdot T}} \cdot V^2 \cdot \delta V = 0.0112$
Ответ: $1.12 \%$
Вопрос: Правильно ли применена формула распределения Максвелла по скоростям для этого случая? Если нет, то почему?

[Eule_A]

AlexeyM88 в сообщении #1314970 писал(а):

Средняя скорость равна:

Вот это очень плохая фраза. В данном контексте слова "средняя скорость" понимаются вполне однозначно - и не так вовсе, как это имеется в виду у Вас (плюс можно ещё дальше придираться к оформлению мыслей, но не буду). Это раз.

Во-вторых, не нужно было пересчитывать молярную массу в массу молекулы - достаточно было вместо постоянной Больцмана использовать универсальную газовую постоянную.

В-третьих, хотелось бы поинтересоваться Вашим обоснованием именно такого способа вычисления. Просто чтобы понимать, что представленное решение полностью осмысленное.

[AlexeyM88]

Eule_A
1) Забыл как она правильно называется :( Мы принимаем скорость равной $505 \text{м/с}$. Это не средняя скорость.
2) Количество моль неизвестно
3) Выбор функции $f(v)$ или что именно? В методичке с заданием приведена эта формула для этих случаев. Я думаю, что она в этом случае подойдёт? Разве нет?

[Eule_A]

AlexeyM88 в сообщении #1314977 писал(а):

2) Количество моль неизвестно

У Вас ищется не количество молекул, обладающих такими скоростями, а доля таковых, между прочим. Так что я свою рекомендацию не снимаю. Попробуйте в распределении Максвелла в общем виде записать массу молекулы через молярную массу - вот как Вы это сделали в данном частном случае.

AlexeyM88 в сообщении #1314977 писал(а):

3) Выбор функции f(v) или что именно?

Прежде всего, даже отдельные обозначения должны записываться, как формулы: $f(v)$. Сейчас поправил за Вас - дальше сами.
Выбор функции-то уж наверное Вы не случайным образом сделали. Интересно другое: вот был бы интервал скоростей не такой, как у Вас, а от $200\text{ м}/\text{с}$ до $600\text{ м}/\text{с}$, скажем. Вы бы так же сделали?

-- 25.05.2018, 20:42 --

AlexeyM88 в сообщении #1314977 писал(а):

В методичке с заданием приведена эта формула для этих случаев.

Ах, в методичке написана... А почему именно она написана - Вы понимаете? Или по принципу "дядя не обманет"? Ведь дядя и обмануть может когда-нибудь...

[AlexeyM88]

Eule_A, я студент-заочник, а не физик

Цитата:

Или по принципу "дядя не обманет"?

Скорее по принципу "дядя через пару недель будет объяснять почему не обманет"
Просто сравнил сегодня свой вариант решения с купленным вариантом (не мной купленным и не для меня), они сильно различаются. Поэтому и попросил проверить правильность моего решения.

[Eule_A]

AlexeyM88 в сообщении #1314992 писал(а):

я студент-заочник, а не физик

Эта задача тривиальна (фактически на определение плотности распределения плюс небольшое утверждение чисто математического свойства). А заочная форма обучения ещё никогда (при серьёзном разговоре) не считалась объяснением чего-либо.

Давайте уточним. У Вас цель просто убедиться в том, что Вы дошли до правильного ответа (по аналогии - и не более того), или понять, почему использовался именно такой путь? Во втором случае будем разбираться.

[AlexeyM88]

Цель понять правильно или нет, но если не правильно, то разобраться.
Спасибо, что помогаете!

[Eule_A]

Да пока не за что. Дело в том, что принципиально у Вас сделано правильно (правда, с ужасными оборотами типа "средняя скорость" или "приращение скорости"), но сразу возникло впечатление, что сделано совершенно формально. Вас ведь двумя-тремя вопросами можно хорошо поставить в тупик. Вот, например, один я задавал выше - и Вы на него отвечать не стали:

Eule_A в сообщении #1314984 писал(а):

был бы интервал скоростей не такой, как у Вас, а от $200\text{ м}/\text{с}$ до $600\text{ м}/\text{с}$, скажем. Вы бы так же сделали?

А второй: почему Вы взяли именно $505\text{ м}/\text{с}$ для подстановки? Можно было взять $504\text{ м}/\text{с}$ или $507\text{ м}/\text{с}$?

[AlexeyM88]

Ну, во-первых при скоростях от $200 \text{м/с}$ до $600 \text{м/с}$ $\delta V = 400 \text{м/с}$. Причина в этом, да?

-- 25.05.2018, 22:23 --

$505 \text{м/с}$ у нас наиболее вероятная скорость?

[Eule_A]

Оба ответа мимо.

Смотрите. По смыслу плотности распределения вероятность того, что молекула имеет модуль скорости в пределах от $v$ до $v+dv$ равна

$$\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)\cdot 4\pi v^2dv.$$

Процент молекул, о котором Вас спрашивали в условии, это и есть вероятность того, что у молекулы такая скорость, как в условии. Но интервал скоростей там совсем не бесконечно малый. Т.е. строго говоря, нужно вычислять интеграл:

$$\int\limits_{v_1}^{v_2}\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)\cdot 4\pi v^2dv,$$

где $v_1, v_2$ - границы требуемого интервала скоростей. Но ведь Вы этот интеграл не вычисляете, правильно? Вот и возникает вопрос, почему? Дальше слово предоставляется Вам. Иначе получится, что задачу за Вас решаю я.

-- 25.05.2018, 21:45 --

AlexeyM88 в сообщении #1315004 писал(а):

$505 \text{м/с}$ у нас наиболее вероятная скорость?

И опять-таки термин "наиболее вероятная скорость" уже занят. Нельзя им пользоваться здесь. Тем более, что и по смыслу не соответствует он.

[GraNiNi]

AlexeyM88 в сообщении #1314970 писал(а):

Поскольку азот двухатомный газ, то молярная масса молекулы равна $M_{N_2} = 56 \cdot 10^{-3} \text{кг/моль}$ .

Молекулярная масса азота - $M_{N_2} = 28 \cdot 10^{-3} \text{кг/моль}$, поэтому все последующие расчеты неверны.

[Eule_A]

GraNiNi в сообщении #1315019 писал(а):

Молекулярная масса азота

Молярная всё-таки. Но да, число я просмотрел, правда. Только по-моему в данном случае это далеко не главная проблема...

[AlexeyM88]

Цитата:

Но ведь Вы этот интеграл не вычисляете, правильно? Вот и возникает вопрос, почему?

Интересный вопрос. Попробовал вычислить этот определённый интеграл и получил примерно $0.01830996245$.
Если считать по формуле, которую привёл я, получается $0.01831113677$
Значит при увеличении $\delta V$ , если считать по формуле, то мы будем получать неверный результат? Я в тупике...

-- 26.05.2018, 00:33 --

Если взять скорости от $200$ до $600$, то значение определенного интеграла будет равно $0.6952969048$ , а по формуле $0.81412768$ , а это около $12\%$

[Eule_A]

AlexeyM88 в сообщении #1315023 писал(а):

Попробовал вычислить этот определённый интеграл и получил примерно $0.01830996245$.
Если считать по формуле, которую привёл я, получается $0.01831113677$
Значит при увеличении $\delta V$ , если считать по формуле, то мы будем получать неверный результат?

Вот... Пошёл процесс... Хорошо.
Вы только не сделали ещё один шаг: нужно было проанализировать поведение функции под интегралом на интервале, заданном в условии задачи, и на интервале, который я Вам предложил. Хотя бы даже просто на график посмотреть. Можно и без этого обойтись, конечно - тем более что график такой тоже нужно строить умеючи.

О чём ещё можно (и нужно) подумать: а как вообще предложенная Вам в методичке формула образовалась? Ведь вообще-то она похожа на точную, но в ней сделано упрощение.

Если знаете геометрический смысл определённого интеграла, то это Вам поможет в рассуждениях при ответе на оба вопроса.

[AlexeyM88]

Так выглядит график функции для интервала скоростей от $500$ до $510$:

Определённый интеграл: $0.01830996243$
Если бы мы взяли $507$ или $503$, то не получили бы правильный ответ. Как видно на рисунке, график функции - прямая(ну или почти). Для прямой не обязательно вычислять определённый интеграл, чтобы определить точно площадь под графиком.
Но вот для интервала скоростей от $200$ до $600$ график совсем не похож на верхний:

Посчитать площадь точно без интегрирования здесь уже не получится т.к. график функции уже кривая, а не прямая.
Только вот не совсем еще дошло, какое упрощение сделано в формуле? Это случаем не приближённое вычисление при помощи дифференциала?