Сведение учп 2 порядка к системе первого порядка

[пианист]

Когда уравнение второго порядка
$H(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0$
можно эквивалентно свести к системе двух уравнений первого порядка
$F(x,y,u,v,u_x,u_y,v_x,v_y)=0$,
$G(x,y,u,v,u_x,u_y,v_x,v_y)=0$?
Вроде простой вопрос, но я нигде не видел, и как-то с ходу ничего не придумалось ;(
Ясно, что уравнение вида
$D_yP(x,y,u,u_x,u_y)=D_xQ(x,y,u,u_x,u_y)$
эквивалентно системе
$v_x=P(x,y,u,u_x,u_y)$,
$v_y=Q(x,y,u,u_x,u_y)$.
Чуть более кучеряво получается с системой
$v_x=a(x,y,u,u_x,u_y)v+b(x,y,u,u_x,u_y)$,
$v_y=c(x,y,u,u_x,u_y)v+d(x,y,u,u_x,u_y)$,
еще можно какие-то частные случаи сочинить..
А вот решался ли (кем-то где-то) вопрос в общем?

[novichok2018]

Кажется, что можно к системе из трёх, взяв за неизвестные функцию и пару производных. Так что может быть вопрос эквивалентен: когда систему трёх можно свести к системе двух, правда специального вида.

[пианист]

Да, можно.