Не могу понять решение задачи на делимость

[henehen]

Добрый день, форумчане!
Увидел недавно решение типовой олимпиадной задачки уровня 19 с ЕГЭ за 2015 год.
Итак, условие задачи:

Цитата:

На доске написано число 2015 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске цифры различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.

а) Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел ?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел ?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске ?

Предлагаемое решение таково:

Цитата:

а) Рассмотрим 1009 чисел: все числа нечётные, не превосходящие 2015, и число 2.
Сумма любых двух из них делится на 1,
сумма любых двух нечётных - на 2,
а сумма $1 + 2$ делится на 3. Таким образом, такие числа удовлетворяют условию задачи.

Здесь всё понятно. :)
Дальше ...

Цитата:

б) Пять чисел:
403,
806=2$\cdot$403,
1209=3$\cdot$403,
1612=4$\cdot$403 и
2015=5$\cdot$403 удовлетворяют условию задачи.

Здесь тоже всё понятно.
А вот это вот решение задачи по пункту в) (с моими комментариями):

Цитата:

в) Четыре числа:
403,
806=2$\cdot$403,
1209=3$\cdot$403 и
2015=5$\cdot$403 удовлетворяют условию задачи.

Покажем, что меньшее количество чисел не удовлетворяют условию задачи.
Пусть написано всего три числа: $a < b < c$.
Тогда $a+b < 2c$ и $a+b$ кратно c. (Ну .. допустим-с ..., логически геометрическая прогрессия "быстрее" арифметической ...).
Так как при этом $a+c = 2a + b$ (откуда автор решения это взял ???) делится на b, получаем,
что 2a делится на b, что возможно лишь при $2a = b$.
Таким образом, написанные три числа - это a, 2a, 3a.
Но лишь 2015 не делится на 2 и на 3, значит, $a = 2015$ и $3a = 6015 > 5000$, что противоречит условию задачи.

В общем, именно последний третий пункт мне непонятен полностью. Непонятна сама логика нахождения решения и вообще подхода к этому. Поэтому я прошу вашей помощи.
Заранее благодарю за ответ.
С уважением, henehen.

[Walker_XXI]

henehen в сообщении #1314142 писал(а):

Так как при этом $a+c = 2a + b$ (откуда автор решения это взял ???)

Из условия "Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных". Следовательно $a+b$ делится на $c$, но при этом меньше $2c$. Значит $a+b=c$.

Кстати, в условии ошибка:

henehen в сообщении #1314142 писал(а):

Все написанные на доске цифры различны.

Далее по ходу решения видно, что имеется ввиду "Все написанные на доске числа различны.

-- 22.05.2018, 20:25 --

henehen в сообщении #1314142 писал(а):

Пусть написано всего три числа: $a < b < c$.
Тогда $a+b < 2c$ ... (Ну .. допустим-с ..., логически геометрическая прогрессия "быстрее" арифметической ...)

Тут всё проще:

$$\mbox{\begin{array}{rcl} a<c\\ b<c\\ \end{array}}\Rightarrow a+b<c+c=2c$$

[henehen]

Цитата:

Из условия "Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных". Следовательно $a+b$ делится на $c$, но при этом меньше $2c$. Значит $a+b=c$.

Не понял. Если условие именно таково, то, следовательно,
$a+b$ делится на $c$ или
$b+c$ делится на $a$ или
$a+c$ делится на $b$. Тут понятно, но почему автор ввёл удвоенное слагаемое ?
Например,
$a+c=2a+b$
В чём смысл 2a ?

Цитата:

Кстати, в условии ошибка:

henehen в сообщении #1314142 писал(а):

Все написанные на доске цифры различны.

Далее по ходу решения видно, что имеется ввиду "Все написанные на доске числа различны.

Точно :) У вас какая именно книга ?

Цитата:

henehen в сообщении #1314142 писал(а):

Пусть написано всего три числа: $a < b < c$.
Тогда $a+b < 2c$ ... (Ну .. допустим-с ..., логически геометрическая прогрессия "быстрее" арифметической ...)

Тут всё проще:

$$\mbox{\begin{array}{rcl} a<c\\ b<c\\ \end{array}}\Rightarrow a+b<c+c=2c$$

Совершенно не догадался. Спасибо.

[Walker_XXI]

henehen в сообщении #1314154 писал(а):

$a+b$ делится на $c$ или
$b+c$ делится на $a$ или

Поскольку чисел всего 3, то тут не "или", а "и".

henehen в сообщении #1314154 писал(а):

Например,
$a+c=2a+b$
В чём смысл 2a ?

Смысл в том, что воспользовались чуть ранее установленным (и опущенным в записи решения) фактом $c = a+b$ (см. мой предыдущий ответ) и в сумму $a+c$ вместо $c$ подставили предыдущее выражение.

henehen в сообщении #1314154 писал(а):

Точно :) У вас какая именно книга ?

У меня вообще нет такой книги. Просто 10 цифр не хватит, чтобы записать 1009 чисел, и чтобы при этом ни одна цифра не повторялась.

[bot]

(Оффтоп)

henehen в сообщении #1314142 писал(а):

Увидел недавно решение типовой олимпиадной задачки уровня 19 с ЕГЭ

С каких пор олимпиадные задачи стали типовыми, да ещё и с ЕГЭ?
А уровень 19 - это ЕГЭ определил? И сколько всего уровней?

[Andrey A]

(Оффтоп)

Бабушка ЕГЭ старенькаэ уже, могло ошибиться. Цифры, числы...