Исследовать на непрерывность ИЗП

[ioleg19029700]

Исследовать при $y\ge 0$ на непрерывность функцию

$$F(y)=\int\limits_0^{+\infty}{{y\cdot \cos(x)}\over{1+y^2x^3}}\,dx$$

Итак, подинтегральная функция непрерывна при $x\ge 0$ и $y \ge 0$. Осталось доказать равномерную сходимость. Если разбить интеграл на два:

$$\int\limits_0^1{{y\cdot \cos(x)}\over{1+y^2x^3}}\,dx + \int\limits_1^{+\infty}{{y\cdot \cos(x)}\over{1+y^2x^3}}\,dx$$

то для второго можно посчитать производную по $y$, которая будет равна

$$\frac{1-y^2x^3}{1+y^2x^3}$$

Производная равна нулю при

$$y=\frac{1}{x^{3\over 2}}$$

и это будет максимум. Тогда можно оценить

$$\big| {{y\cdot \cos(x)}\over{1+y^2x^3}} \big| \le {y\over{1+y^2x^3}} \le {1\over x^{3 \over 2}}$$

и

$$\int\limits_1^{+\infty}{dx\over x^{3\over 2}}\,dx$$

сходится при $x\to +\infty$. Таким образом, получим равномерную сходимость при $x\ge 1$, но что делать с первым интегралом? Как доказать его равномерную сходимость, там же $x$ стремиться к $0$

-- 22.05.2018, 02:14 --

Наверно нужно посмотреть на эквивалентную функцию при $x\to 0$. Тогда получим, что знаменатель функции

$${{y\cdot \cos(x)}\over{1+y^2x^3}}$$

превращается в $1$, а числитель становится $y-\frac{yx^2}{2}$. Интегралы по $x$ в на отрезке $[0;1]$ сходятся для обоих слагаемых $\forall y$ следовательно опять получим равномерную сходимость. Верно?

[thething]

А что если так: $\left| {{y \cos x}\over{1+y^2x^3}} \right| \le y\left\lvert \cos x\right\rvert$. К тому, что получилось, какой-то из признаков Абеля-Дирихле, а потом исходный по критерию Коши?

-- 22.05.2018, 05:29 --

Только что заметил, что в нуле у Вас особенности-то нет. В случае этого интеграла, просто непрерывности подынтегральной функции будет достаточно.