Неравенство22(как аналог ВТФ)

[arqady]

TR63 в сообщении #1314202 писал(а):

arqady в сообщении #1314194 писал(а):

Вы не можете положить $a\geq b\geq c$.

Я пока рассматриваю этот случай. Потом можно рассмотреть остальные.

Так Вы обязаны это заранее нам сказать. В противном случае всё Ваше рассуждение выглядит, как абсолютный бред.
Теперь это просто бред:

TR63 в сообщении #1314175 писал(а):

Для положительных $(a,b,c)$ найдите натуральные $(n)$, для которых верно неравенство при $a^2+b^2+c^2=3$

$$f(a;b;c)=ca^3+ab^3+bc^3+nabc(a+b+c)-3(n+1)abc\ge0$$

$ca^3+ab^3+bc^3+nbc(a^2)+nb^2ac+nab(c^2)-3(n+1)abc\ge0$

Подставив в круглых скобках их значения, взятые из условия $a^2+b^2+c^2=3$, получим неравенство:

$$\{(n-1)bc(c^2)+\{nb^3-nab^2+[3(n+1)a-3n]b-a^3\}c\}_1-\{ab^3+nab(3-a^2-b^2)\}\le0$$

Подставим вместо $(c^2)$ его значение, взятое из условия $a^2+b^2+c^2=3$.
Если $\{...\}_1\le0$, то неравенство верно. Если $\{...\}_1\ge0$, то сделаем усиление, заменив $(c)$ на $(b)$. Сократив на $(b)$, получим неравенство:

$$b^3-ab^2+[(n-1)(3-a^2)+3(n+1)a-3n]b+[(n-1)a^3-3na]\le0$$

Для доказательства исходного неравенства достаточно доказать это неравенство.

Нет доказательства! Нет доказательства, что из $f(a,b,b)\geq0$ следует $f(a,b,c)\geq0$. Это просто бред. От того, что Вы запутанно подставляете $c^2=3-a^2-b^2$, доказательство того, что из $f(a,b,b)\geq0$ следует $f(a,b,c)\geq0$, не появится.

TR63 в сообщении #1314202 писал(а):

arqady в сообщении #1314186 писал(а):

Помоему, это не усиление, а ослабление.

arqady, почему Вы считаете это ослаблением. Поясните, пожалуйста.

Потому, что если мы докажем неравенство $f(a,b,c)\geq0$, то из этого будет следовать $f(a,b,b)\geq0.$

TR63 в сообщении #1314202 писал(а):

TR63 в сообщении #1314175 писал(а):

получим неравенство:

$$\{(n-1)bc(c^2)+\{nb^3-nab^2+[3(n+1)a-3n]b-a^3\}c\}_1-\{ab^3+nab(3-a^2-b^2)\}\le0$$

$\{...\}_1=c\{(n-1)b(3-a^2-b^2)+\{nb^3-nab^2+[3(n+1)-3n]b-a^3\}\}$
1). $\{...\}_1\le0$ (сумма двух отрицательных отрицательна, значит исходное верно).
2). $\{...\}_1>0$ (заменяем меньшее $(c)$ на большее $(b)$, получаем усиление.
arqady, Вы считаете это ослаблением? Если да, то почему?

Так что Вы доказываете? $f(a,b,c)\geq0$ или $a\geq b\geq c$?
Если Вы доказываете, что $a\geq b\geq c$, то это поистине гениально доказать это сначала для $c=b$. Получилось: если $a\geq b$, то поскольку на самом деле $b\geq c$, то $a\geq b\geq c$.
Какое это всё имеет отношение к доказательству $f(a,b,c)\geq0$?
Точно также, нет никакой связи между Вашим неравенством и Большой теоремой Ферма.

-- Ср май 23, 2018 04:42:12 --

Cap в сообщении #1314036 писал(а):

Вы использовали $uvw$, arqady?

Да, конечно! С помощью $uvw$ можно получить наибольшее действительное значение $n$, для которого неравенство верно. Ещё, я проверил это для $n=4$ с помощью Buffalo Way.

[TR63]

arqady в сообщении #1314211 писал(а):

Так Вы обязаны это заранее нам сказать.

В начале темы у меня указано, что я рассматриваю случай $a\ge b\ge c$. Я не указала, что остальные случаи пока не рассматриваю. Виновата (мне не хотелось загромождать тему доказательством этого неравенства, поскольку мне было достаточно, что Вы его решили в общем виде; о чём и сообщили в своём ответе).

arqady в сообщении #1314211 писал(а):

Нет доказательства, что из $f(a,b,b)\geq0$ следует $f(a,b,c)\geq0$

Я нигде не утверждала, что

arqady в сообщении #1314211 писал(а):

что из $f(a,b,b)\geq0$ следует $f(a,b,c)\geq0$

во всей рассматриваемой области определения, а только при тех $(a;b)$, когда $\{...\}_1\ge0$. Когда она меньше нуля, исходное неравенство верно, как сумма двух отрицательных.

TR63 в сообщении #1314202 писал(а):

arqady, почему Вы считаете это ослаблением.

arqady в сообщении #1314211 писал(а):

Потому, что если мы докажем неравенство $f(a,b,c)\geq0$, то из этого будет следовать $f(a,b,b)\ge0$

Значит тогда получаем, что усиление имеет место в пустой области(это без доказательства исходного неравенства мы не знаем). Т.е. $\{...\}_1\le0$ во всей области определения и исходное неравенство верно, как сумма двух отрицательных. Не вижу, чему это противоречит.

arqady в сообщении #1314211 писал(а):

Так что Вы доказываете? $f(a,b,c)\geq0$ или $a\geq b\geq c$?

Я доказываю, что $f(a,b,c)\ge0$ при условии $a\ge b\ge c$ и $a^2+b^2+c^2=3$.
arqady, повторяю, мне достаточно того, что Вы доказали неравенство в общем виде.
Я не претендую на то, что моё доказательство верно для рассмотренного частного случая (возможно, есть в нём ошибка, которую я не вижу; для предложенных мною к решению двух задач, это не столь важно: верно/неверно моё или чьё-то доказательство).
Я не утверждала что две задачи, предложенные мною имеют отношение к ВТФ. Речь идёт об аналогии. Это разные понятия.

[Rak so dna]

TR63 в сообщении #1314260 писал(а):

...при условии $a\ge b\ge c$...

На самом деле этого условия достаточно.

Мне кажется, я понял логику Ваших рассуждений: Т.к. для доказательства некоторого неравенства, достаточно доказать более сильное неравенство, Вы решили усилить данное неравенство, путем усиления неравенства, которое налагало на него некоторые ограничения. Ошибка тут в том, что усиление неравенств, налагающих ограничения, на самом деле ведет к ослаблению исходного неравенства. Например нам надо доказать, что $x-1>0$ при $x>0$, усилим неравенство-ограничение $x>0$: $x>1$ (это действительно верное усиление, т.к. $x>1 \Rightarrow x>0$ ), теперь перенесем $1$ влево и получим доказательство неверного неравенства!

[arqady]

TR63 в сообщении #1314260 писал(а):

Я доказываю, что $f(a,b,c)\ge0$ при условии $a\ge b\ge c$ и $a^2+b^2+c^2=3$.

Ваше "доказательство" базируется на Вашей выдумке что неравенство достаточно доказать при $b=c$.

Доказательства этого утверждения Вы не предоставили. Правда, это и невозможно сделать, поскольку это просто неверно. Контр-пример попробуйте найти сами.
Хоть что-то положительное сможете сделать.
Итак, задача для Вас. Приведите пример $n$, для которого неравенство $f(a,b,b)\geq0$ верно, а неравенство $f(a,b,c)\geq0$ неверно для того же $n$ при $a\geq b\geq c$. Удачи!

[TR63]

arqady в сообщении #1314194 писал(а):

Кстати, Ваше неравенство циклическое. Вы не можете положить $a\geq b\geq c$.

Rak so dna в сообщении #1314284 писал(а):

На самом деле этого условия достаточно.

Rak so dna, согласна (проверяла; тоже так получается).

arqady в сообщении #1314334 писал(а):

Ваше "доказательство" базируется на Вашей выдумке что неравенство достаточно доказать при $b=c$.

Моё доказательство неравенства базируется на том, что его достаточно доказать в области
$\{...\}_1=c\{(n-1)b(3-a^2-b^2)+\{nb^3-nab^2+[3(n+1)-3n]b-a^3\}\}>0$

Rak so dna, да, я усиливаю не исходное неравенство, а усиливаю область определения, в которой надо доказать исходное неравенство. Но Ваш пример отличается от того, что имеется в моём случае. У Вас получается верное неравенство в усиленной области определения: $x-1>0$ при $x>1$ (но у Вас, в отличие от того, что имеется у меня, нет доказательства, что для доказательства Вашего исходного неравенства достаточно доказать его в усиленной области); вне усиленной области определения $0<x<1$ у Вас ложное неравенство. У меня вне усиленной зоны, где $\{...\}_1\le0$, исходное неравенство заведомо не может быть ложным, поскольку там оно верно, что доказывается с помощью свойства: сумма двух отрицательных отрицательна, поскольку надо доказать, что
$\{...\}_1-\{ab^3+nab(3-a^2-b^2)\}\le0$.

[TR63]

1).

TR63 в сообщении #1314409 писал(а):

я усиливаю не исходное неравенство, а усиливаю область определения, в которой надо доказать исходное неравенство

2).

TR63 в сообщении #1314409 писал(а):

( достаточно доказать его в усиленной области)

Уточнение:

1). усиливаю часть области определения.
2). достаточно доказать его в усиленной части области определения, если таковая часть существует (если она не существует, то исходное неравенство верно, как сумма двух отрицательных).

Пункт $(2)$ не доказан. Значит, увы, доказательства исходного неравенства при $(n=3;4)$ у меня нет. Но в усиленной области определения мною обнаружено при $(n\le4)$ общее свойство (достаточно с помощью Вольфрама проверить значения, принимаемые функцией на концах трёх промежутков). А это уже часть решения первой из предложенных двух задач. Дело за малым, решить её полностью. Вторая совсем простая.