УМО непрерывных случайных величин

[koegit]

Добрый день

Пытаюсь посчитать УМО

$ \xi = 1_{X_{1} \geqslant = x}, \eta = \sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} E(\xi | \eta = t) $

Насколько я понимаю, в данном случае это будет

$ p_{\xi | \eta = y} = \frac{p_{\xi, \eta}(1,y)}{p_{\eta}(y)} $

По условию задачи $X_{1}...X_{n} ~ N(\theta, 1)$ независимы и одинаково распределены.
1. Правильно ли я понимаю, что вероятность в числителе я могу посчитать как $p(\sum\limits_{2}^{n}X_{i} \geqslant t - x)$ ?
2. $p(\eta = y) = 0$, так как распределение абсолютно непрерывное, поэтому с знаменателем совсем не понятно, что делать.

Подскажите, пожалуйста, что я упускаю и как мне решить эту задачу?

[ShMaxG]

У вас непонятно, что такое $p$. То ли это плотность, то ли это функция распределения, то ли это функция вероятности. Непонятно, что такое $p_{\xi|\eta=y}$, если это функция, то с какими аргументами. Наверное, вы хотели воспользоваться формулой для условной плотности распределения случайной величины $\xi$ при условии $\eta=y$:

$$f_{\xi|\eta}(x,y)=\frac{f_{\xi,\eta}(x,y)}{f_{\eta}(y)}$$

но она подразумевает, что существует совместная плотность $f_{\xi,\eta}(x,y)$. В вашем случае это не так. Это легко проверить, потому что $\xi$ распределена дискретно, а $\eta$ -- непрерывно.

Видно, что $\eta$ состоит из $X_1$ и еще какой-то независимой добавки. Удобно поэтому ввести случайную величину $\zeta$ такую, что $\eta=X_1+\zeta$. Более того, ваша случайная величина $\xi$ это некоторый индикатор, а значит матожидание его -- вероятность. Поэтому ваше УМО это по сути условная вероятность. И вот ее-то можно разными способами вычислять. Например, можно найти условную плотность распределения $X_1$ при условии $X_1+\zeta=t$. Попробуйте, только обосновав существование совместной плотности.