Помогите расшифровать письмо Шварцшильда

[schekn]

После доклада А. Эйнштейна 18 ноября 1915 года Королевскому обществу, где он сделал расчеты сдвига перигелия Меркурия, 22 декабря Шварцшильд из госпиталя ему пишет письмо . Оригинальный текст и перевод на английский я взял из статьи:
Einstein’s Paper: “Explanation of the Perihelion Motion of Mercury from General Relativity Theory” (A. Vankov)
http://www.gsjournal.net/old/eeuro/vankov.pdf





Вторая часть письма понятна, а вот его первое предложение по метрике неясно.
Напомню, что Эйнштейн предложил в первом приближении такие метрические компоненты:

$g_{44}=1-\frac{\alpha}{r}$, $ g_{\rho\sigma}=-\delta_{\rho\sigma}-{\alpha}\frac{x_{\rho}x_{\sigma}}{r^3}$

При этом метрика должна удовлетворять 4-м условиям:
(Собрание сочинений, том 1, стр 440 в русском издании)

1. Все компоненты не зависят от $x_4$,
2. Отсутствуют перекрестные члены $g_{4i}$
3. Существует сферическая симметрия
4. На бесконечности они переходят в Метрику Минковского в галилеевых координатах

Ну еще условие судя по статье на определитель $g=-1$.

Ничего в голову не приходит,как то, что может быть Шварцшильд имел в виду следующее:

$g_{44}=1$, $g_{\rho\sigma}=-\delta_{\rho\sigma}-{\beta}\frac{x_{\rho}x_{\sigma}}{r^5}$

[schekn]

Так никто не отреагировал. Интерес чисто исторический. Мой вариант не совпадает с Шварцшильдовским , потому что знак у символа Кронекера другой и непонятен член в скобках в первом выражении в письме (непонятно к чему он).

[mihiv]

Наверное, должно быть:
$g_{44}=1$, $g_{\rho\sigma}=-\delta_{\rho\sigma}-{\beta}\frac{x_{\rho}x_{\sigma}}{r^5}+ \delta _{\rho \sigma }[\frac {\beta }{3r^3}]$
Последнее слагаемое нужно для того, чтобы определитель был равен -1 (с точностью до слагаемых порядка $\beta ^2$).

[schekn]

mihiv в сообщении #1314064 писал(а):

Наверное, должно быть:
$g_{44}=1$, $g_{\rho\sigma}=-\delta_{\rho\sigma}-{\beta}\frac{x_{\rho}x_{\sigma}}{r^5}+ \delta _{\rho \sigma }[\frac {\beta }{3r^3}]$
Последнее слагаемое нужно для того, чтобы определитель был равен -1 (с точностью до слагаемых порядка $\beta ^2$).

Спасибо. Я проверил , действительно разная асимптотика .
В вашем варианте:

$$g=-(1-\frac{b}{r^3})^2\approx{-1+2b/r^3}$$

У Эйнштейна:

$$g=-(1-\frac{a^2}{r^2})$$

А это принципиально ? В письме Шварцшильд указывает на ошибку или на неоднозначность? Там фраза перед первым выражением не очень ясная.

[mihiv]

schekn в сообщении #1314616 писал(а):

Там фраза перед первым выражением не очень ясная.

В немецком варианте смысл фразы примерно такой: "В качестве первого приближения для коэффициентов $g_{\mu \nu }$ кроме Вашего решения я нашел еще следующее второе решение:"
Дальше он говорит, что это привело бы к неоднозначности, и поэтому он стал искать точное решение.

[schekn]

mihiv в сообщении #1315170 писал(а):

schekn в сообщении #1314616 писал(а):

Там фраза перед первым выражением не очень ясная.

В немецком варианте смысл фразы примерно такой: "В качестве первого приближения для коэффициентов $g_{\mu \nu }$ кроме Вашего решения я нашел еще следующее второе решение:"
Дальше он говорит, что это привело бы к неоднозначности, и поэтому он стал искать точное решение.

Спасибо. Я примерно так и предполагал.