Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами

[SomePupil]

Аддитивная группа многочленов с целыми коэффициентами $\mathbb Z[x]$ изоморфна мультипликативной группе положительных рациональных чисел. Довольно неочевидный факт для меня.

Можете рассказать идею построения изоморфизма в двух словах?

[mihaild]

Ну для начала - можете в обеих этих группах найти подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}$? А $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$?

[ИСН]

Про разложение на простые множители слыхали, например?

[SomePupil]

mihaild в сообщении #1313240 писал(а):

изоморфную $\mathbb{Z}$?

Это легко.

mihaild в сообщении #1313240 писал(а):

А $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$?

А это интереснее. Можно взять многочлены вида $nx + mx^2, n, m \in \mathbb Z$ например. Они составят нужную подгруппу $\mathbb Z[x].$

Из рациональных можно взять $2^n\cdot 3^m, n, m\in \mathbb Z.$ Вообще, можно взять любые $r_1^n\cdot r_2^m,$ где $r_2 \ne r_1^k$ ни для каких $k \in \mathbb Z.$

-- 18.05.2018, 19:02 --

ИСН в сообщении #1313247 писал(а):

Про разложение на простые множители слыхали, например?

Че-то слышал, да.

[mihaild]

SomePupil в сообщении #1313248 писал(а):

Вообще, можно взять любые $r_1^n\cdot r_2^m,$ где $r_2 \ne r_1^k$ ни для каких $k \in \mathbb Z.$

Не любые. Например $r_1 = 4, r_2 = 8$ не подойдут.

Но идея правильная. Теперь можете ли для любого $k$ найти в этих группах подгруппы, изоморфные $\mathbb{Z}^k$ (как группе по сложению)?

[SomePupil]

mihaild в сообщении #1313249 писал(а):

Не любые.

Точно

-- 18.05.2018, 19:24 --

Начала складываться картинка; $x^n$ надо отобразить в простые $p,$ а $-x^{n},$ в числа вида $1/p.$ Дальше уже понятно, как.

-- 18.05.2018, 19:34 --

Если очень сильно затянуться, то можно понять, что утверждение, по сути, об изоморфности групп слов, буквы которых берутся из счетных алфавитов (мономы с одной стороны, простые числа $-$ с другой). Причем групп довольно специальных, из-за наличия коммутативности.