2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 17:19 
Аватара пользователя


07/01/15
956
Якутск
Аддитивная группа многочленов с целыми коэффициентами $\mathbb Z[x]$ изоморфна мультипликативной группе положительных рациональных чисел. Довольно неочевидный факт для меня.

Можете рассказать идею построения изоморфизма в двух словах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2400
Москва
Ну для начала - можете в обеих этих группах найти подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}$? А $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13213
с Территории
Про разложение на простые множители слыхали, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 18:02 
Аватара пользователя


07/01/15
956
Якутск
mihaild в сообщении #1313240 писал(а):
изоморфную $\mathbb{Z}$?

Это легко.

mihaild в сообщении #1313240 писал(а):
А $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$?

А это интереснее. Можно взять многочлены вида $nx + mx^2, n, m \in \mathbb Z$ например. Они составят нужную подгруппу $\mathbb Z[x].$

Из рациональных можно взять $2^n\cdot 3^m, n, m\in \mathbb Z.$ Вообще, можно взять любые $r_1^n\cdot r_2^m,$ где $r_2 \ne r_1^k$ ни для каких $k \in \mathbb Z.$

-- 18.05.2018, 19:02 --

ИСН в сообщении #1313247 писал(а):
Про разложение на простые множители слыхали, например?

Че-то слышал, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2400
Москва
SomePupil в сообщении #1313248 писал(а):
Вообще, можно взять любые $r_1^n\cdot r_2^m,$ где $r_2 \ne r_1^k$ ни для каких $k \in \mathbb Z.$
Не любые. Например $r_1 = 4, r_2 = 8$ не подойдут.

Но идея правильная. Теперь можете ли для любого $k$ найти в этих группах подгруппы, изоморфные $\mathbb{Z}^k$ (как группе по сложению)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 18:17 
Аватара пользователя


07/01/15
956
Якутск
mihaild в сообщении #1313249 писал(а):
Не любые.

Точно

-- 18.05.2018, 19:24 --

Начала складываться картинка; $x^n$ надо отобразить в простые $p,$ а $-x^{n},$ в числа вида $1/p.$ Дальше уже понятно, как.

-- 18.05.2018, 19:34 --

Если очень сильно затянуться, то можно понять, что утверждение, по сути, об изоморфности групп слов, буквы которых берутся из счетных алфавитов (мономы с одной стороны, простые числа $-$ с другой). Причем групп довольно специальных, из-за наличия коммутативности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Sinoid, teleglaz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group