2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 17:19 
Аватара пользователя


07/01/15
943
Якутск
Аддитивная группа многочленов с целыми коэффициентами $\mathbb Z[x]$ изоморфна мультипликативной группе положительных рациональных чисел. Довольно неочевидный факт для меня.

Можете рассказать идею построения изоморфизма в двух словах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2102
Москва
Ну для начала - можете в обеих этих группах найти подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}$? А $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13200
с Территории
Про разложение на простые множители слыхали, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 18:02 
Аватара пользователя


07/01/15
943
Якутск
mihaild в сообщении #1313240 писал(а):
изоморфную $\mathbb{Z}$?

Это легко.

mihaild в сообщении #1313240 писал(а):
А $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$?

А это интереснее. Можно взять многочлены вида $nx + mx^2, n, m \in \mathbb Z$ например. Они составят нужную подгруппу $\mathbb Z[x].$

Из рациональных можно взять $2^n\cdot 3^m, n, m\in \mathbb Z.$ Вообще, можно взять любые $r_1^n\cdot r_2^m,$ где $r_2 \ne r_1^k$ ни для каких $k \in \mathbb Z.$

-- 18.05.2018, 19:02 --

ИСН в сообщении #1313247 писал(а):
Про разложение на простые множители слыхали, например?

Че-то слышал, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2102
Москва
SomePupil в сообщении #1313248 писал(а):
Вообще, можно взять любые $r_1^n\cdot r_2^m,$ где $r_2 \ne r_1^k$ ни для каких $k \in \mathbb Z.$
Не любые. Например $r_1 = 4, r_2 = 8$ не подойдут.

Но идея правильная. Теперь можете ли для любого $k$ найти в этих группах подгруппы, изоморфные $\mathbb{Z}^k$ (как группе по сложению)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рац. числа и многочлены с целыми коэф-ами
Сообщение18.05.2018, 18:17 
Аватара пользователя


07/01/15
943
Якутск
mihaild в сообщении #1313249 писал(а):
Не любые.

Точно

-- 18.05.2018, 19:24 --

Начала складываться картинка; $x^n$ надо отобразить в простые $p,$ а $-x^{n},$ в числа вида $1/p.$ Дальше уже понятно, как.

-- 18.05.2018, 19:34 --

Если очень сильно затянуться, то можно понять, что утверждение, по сути, об изоморфности групп слов, буквы которых берутся из счетных алфавитов (мономы с одной стороны, простые числа $-$ с другой). Причем групп довольно специальных, из-за наличия коммутативности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group