2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма с бином. коэффициентами
Сообщение18.05.2018, 16:19 
Аватара пользователя


07/01/15
866
Якутск
Есть выражение $$1 + \binom{n}{2} + \binom{n}{2}\cdot\binom{n-2}{2} + \binom{n}{2}\cdot\binom{n-2}{2}\cdot\binom{n-4}{2}\ldots$$
для количества перестановок $\sigma\in S_{n},$ таких, что $\sigma^2 = 1.$

Можно ли свернуть это выражение в какую-нибудь замкнутую формулу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма с бином. коэффициентами
Сообщение18.05.2018, 20:19 
Заслуженный участник


16/02/13
3115
Владивосток
Вроде бы $S_{n+1}=S_n+nS_{n-1}$ (либо $n+1$-й элемент неподвижен, либо меняется местами с одним из $1,,n$).
По идее, должны бы прослеживаться аналогии с $y''-y'-xy=0$ (как в рекуррентных последовательностях с постоянными коэффициентами и аналогичными дифурами). Вольфрам про это уравнение говорит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма с бином. коэффициентами
Сообщение18.05.2018, 20:33 
Заслуженный участник


10/01/16
1661
SomePupil в сообщении #1313214 писал(а):
Можно ли свернуть это выражение в какую-нибудь замкнутую формулу?

А что надо - свернуть эту сумму? Или ту сумму, которая реально дает количество таких перестановок? (Это - две разные вещи: проверьте для $n=4$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма с бином. коэффициентами
Сообщение19.05.2018, 05:12 
Аватара пользователя


07/01/15
866
Якутск
DeBill в сообщении #1313274 писал(а):
Или ту сумму, которая реально дает количество таких перестановок?

Да, нужна именно эта сумма. Правильное выражение будет таким $$1 + \frac11\binom{n}{2} + \frac1{2!}\binom{n}2 \binom{n-2}{2} + \frac1{3!}\binom{n}2 \binom{n-2}{2} \binom{n-4}{2} + \ldots$$
При этом при $n=4,$ например, коэффициенты с нулем не берем.

iifat, да, рекур. соотношения $-$ интересная идея.

P.S. Вообще, замкнутая формула в данном случае $-$ это не необходимость, а скорее каприз. Возвращусь к этой теме, после того, как подучу кое-что про комбинаторику.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: bot, ioleg19029700


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group