Сумма с бином. коэффициентами

[SomePupil]

Есть выражение

$$1 + \binom{n}{2} + \binom{n}{2}\cdot\binom{n-2}{2} + \binom{n}{2}\cdot\binom{n-2}{2}\cdot\binom{n-4}{2}\ldots$$

для количества перестановок $\sigma\in S_{n},$ таких, что $\sigma^2 = 1.$

Можно ли свернуть это выражение в какую-нибудь замкнутую формулу?

[iifat]

Вроде бы $S_{n+1}=S_n+nS_{n-1}$ (либо $n+1$-й элемент неподвижен, либо меняется местами с одним из $1,,n$).
По идее, должны бы прослеживаться аналогии с $y''-y'-xy=0$ (как в рекуррентных последовательностях с постоянными коэффициентами и аналогичными дифурами). Вольфрам про это уравнение говорит...

[DeBill]

SomePupil в сообщении #1313214 писал(а):

Можно ли свернуть это выражение в какую-нибудь замкнутую формулу?

А что надо - свернуть эту сумму? Или ту сумму, которая реально дает количество таких перестановок? (Это - две разные вещи: проверьте для $n=4$)

[SomePupil]

DeBill в сообщении #1313274 писал(а):

Или ту сумму, которая реально дает количество таких перестановок?

Да, нужна именно эта сумма. Правильное выражение будет таким

$$1 + \frac11\binom{n}{2} + \frac1{2!}\binom{n}2 \binom{n-2}{2} + \frac1{3!}\binom{n}2 \binom{n-2}{2} \binom{n-4}{2} + \ldots$$

При этом при $n=4,$ например, коэффициенты с нулем не берем.

iifat, да, рекур. соотношения $-$ интересная идея.

P.S. Вообще, замкнутая формула в данном случае $-$ это не необходимость, а скорее каприз. Возвращусь к этой теме, после того, как подучу кое-что про комбинаторику.