2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма с бином. коэффициентами
Сообщение18.05.2018, 16:19 
Аватара пользователя


07/01/15
958
Якутск
Есть выражение $$1 + \binom{n}{2} + \binom{n}{2}\cdot\binom{n-2}{2} + \binom{n}{2}\cdot\binom{n-2}{2}\cdot\binom{n-4}{2}\ldots$$
для количества перестановок $\sigma\in S_{n},$ таких, что $\sigma^2 = 1.$

Можно ли свернуть это выражение в какую-нибудь замкнутую формулу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма с бином. коэффициентами
Сообщение18.05.2018, 20:19 
Заслуженный участник


16/02/13
3279
Владивосток
Вроде бы $S_{n+1}=S_n+nS_{n-1}$ (либо $n+1$-й элемент неподвижен, либо меняется местами с одним из $1,,n$).
По идее, должны бы прослеживаться аналогии с $y''-y'-xy=0$ (как в рекуррентных последовательностях с постоянными коэффициентами и аналогичными дифурами). Вольфрам про это уравнение говорит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма с бином. коэффициентами
Сообщение18.05.2018, 20:33 
Заслуженный участник


10/01/16
1783
SomePupil в сообщении #1313214 писал(а):
Можно ли свернуть это выражение в какую-нибудь замкнутую формулу?

А что надо - свернуть эту сумму? Или ту сумму, которая реально дает количество таких перестановок? (Это - две разные вещи: проверьте для $n=4$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма с бином. коэффициентами
Сообщение19.05.2018, 05:12 
Аватара пользователя


07/01/15
958
Якутск
DeBill в сообщении #1313274 писал(а):
Или ту сумму, которая реально дает количество таких перестановок?

Да, нужна именно эта сумма. Правильное выражение будет таким $$1 + \frac11\binom{n}{2} + \frac1{2!}\binom{n}2 \binom{n-2}{2} + \frac1{3!}\binom{n}2 \binom{n-2}{2} \binom{n-4}{2} + \ldots$$
При этом при $n=4,$ например, коэффициенты с нулем не берем.

iifat, да, рекур. соотношения $-$ интересная идея.

P.S. Вообще, замкнутая формула в данном случае $-$ это не необходимость, а скорее каприз. Возвращусь к этой теме, после того, как подучу кое-что про комбинаторику.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group