2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите исследовать ряд на сходимость
Сообщение17.05.2018, 17:51 


23/03/18
15
Помогите, пожалуйста, исследовать ряд на сходимость:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{\frac{1}{n}}-1)^2$

Моя попытка решения такова:
1. Установил, что $\lim\limits_{n\to\infty}(e^{\frac{1}{n}}-1)^2=0$.
Следовательно, достаточное условие расходимости не выполняется.
2. Установил, что ряд является знакоположительным:
$(e^{\frac{1}{n}}-1)^2>0\bigg| \forall x \in N$
3. Попробовал применить признак Д'Аламбера:
$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{ (e^{\frac{1}{n+1}}-1) ^2 } {(e^{\frac{1}{n}}-1)^2}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(\frac{1}{n+1})^2}{(\frac{1}{n})^2}$ т.к. $e^x-1 \sim x \bigg| x\to 0$
$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(\frac{1}{n+1})^2}{(\frac{1}{n})^2}=\ldots=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^2=1$
Т.е. признак Д'Аламбера использовать нельзя.
4. Можно доказать, что $a_n>a_{n+1}$, но интегральный признак Коши применить не удается. WolframAlpha говорит, что интеграл общего члена ряда не выражается через элементарные функции.
5. Остается использовать признаки сравнения рядов. С каким рядом сравнивать?

Также сообщу, что WolframAlpha сообщает, что ряд сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите исследовать ряд на сходимость
Сообщение17.05.2018, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
835
Антарктика
Эквивалентности знаете? Используйте предельный признак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите исследовать ряд на сходимость
Сообщение17.05.2018, 18:33 


23/03/18
15
thething

Спасибо огромное за подсказку!
Я понял суть решения:
1. Т.к. $e^x-1 \sim x \bigg| x\to 0$, то $(e^{\frac{1}{n}}-1)^2 \sim (\frac{1}{n})^2 \bigg| n\to \infty$
2. Исследуем на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})^2$:

Т.к. он знакоположительный и $a_n>a_{n+1}$, то можно применить интегральный признак Коши:
$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx=\lim\limits_{q\to\infty}(\int\limits_{1}^{q} \frac{1}{x^2} \, dx)=\ldots=\lim\limits_{q\to\infty}(1-\frac{1}{q})=1$
Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})^2$ сходится.

3. Применим предельный признак сравнения:

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(\frac{1}{n})^2}{(e^{\frac{1}{n}}-1)^2}=1$

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})^2$ сходится.
Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}((e^{\frac{1}{n}}-1)^2)$ также сходится!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group