2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 10:06 


26/12/17
64
Пусть $\mu_F(A)$ - мера Лебега-Стилтьеса порожденная функцией $F$, найти меру $\mu_F(A)$ множества $A$

$$F(x)=\begin{cases}
0,&\text{если $x \leqslant 0$;}\\
\sin(x),&\text{если $0<x \leqslant \frac{\pi}{2}$;}\\
x,&\text{если $\frac{\pi}{2} < x \leqslant 2015$.} \\
2016,&\text{если $x > 2015$.}
\end{cases}$$

$A=Q$, $A=[-1,1] \Delta [\pi,2017]$

Тк симметрическая разность двух множеств - это такое множество, куда входят все элементы, которые не являются общими для двух заданных множеств(а заданные множества не пересекаются), то нужно найти:
$m[-1,1]=F(1+0)-F(-1)=\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)- \lim\limits_{x \to -1}^{}F(x)=\sin(1)-0$
$m[\pi,2017]=F(2017+0)-F(\pi)=\lim\limits_{x \to 2017+0}^{} F(x)-\lim\limits_{x \to \pi}^{} F(x)=2016-3,14$

Правильно ли это? И если нет, то где ошибки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 10:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15885
Новомосковск
hollo в сообщении #1312840 писал(а):
где ошибки?
hollo в сообщении #1312840 писал(а):
$\ldots-\lim\limits_{x \to \pi}^{} F(x)=2016-3,14$
Зачем тут предел, если в формуле написано $F(\pi)$? И он, конечно, не равен $3{,}14$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 11:07 


26/12/17
64
Someone
Пределы вообще нигде не нужны?
$m[-1,1]=F(1+0)-F(-1)=\sin(1)-0$
$m[\pi,2017]=F(2017+0)-F(\pi)=2016-\pi$

Someone в сообщении #1312843 писал(а):
И он, конечно, не равен $3{,}14$

Но ведь $\pi$ входит в $\frac{\pi}{2} < x \leqslant 2015$, а значит, что $F(\pi)=\pi$. Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 11:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15885
Новомосковск
hollo в сообщении #1312846 писал(а):
Пределы вообще нигде не нужны?
$F(1+0)$ — это обозначение предела справа. А $F(\pi)$ — просто значение функции. Вы в обозначениях-то разберитесь.

hollo в сообщении #1312846 писал(а):
$F(\pi)=\pi$. Разве не так?
Так. Но Вы ведь написали не $\pi$:
hollo в сообщении #1312840 писал(а):
$-3,14$

И Вы неправильно пишете формулы. Должно быть
Используется синтаксис LaTeX
$$F(x)=\begin{cases}\end{cases}$$
Проверьте на примере формулы из стартового сообщения, что получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 11:34 


26/12/17
64
Someone в сообщении #1312847 писал(а):
И Вы неправильно пишете формулы. Должно быть

Понял, теперь буду знать.

На счет задания:
Получается
$m[\pi,2017]=F(2017+0)-F(\pi)=\lim\limits_{x \to 2017+0}^{} F(x)-F(\pi)=2016-\pi$
При вычислении $\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)$ нужно учитывать, что справа две точки разрыв? или
$m[-1,1]=F(1+0)-F(-1)=\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)- F(-1)=\sin(1)-0$

А после вычисления $m[\pi,2017]$ и $m[-1,1]$ их останется просто сложить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 11:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14747
Кронштадт
 i  Формулу из стартового сообщения я поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 12:21 
Заслуженный участник


01/06/15
832
С.-Петербург
hollo в сообщении #1312848 писал(а):
Получается
$m[\pi,2017]=F(2017+0)-F(\pi)=\lim\limits_{x \to 2017+0}^{} F(x)-F(\pi)=2016-\pi$
При вычислении $\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)$ нужно учитывать, что справа две точки разрыв? или
$m[-1,1]=F(1+0)-F(-1)=\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)- F(-1)=\sin(1)-0$

А после вычисления $m[\pi,2017]$ и $m[-1,1]$ их останется просто сложить?

Мера - вещь аддитивная, так что - да, нужно складывать. А вот что складывать - отдельный вопрос.
Во-первых, посмотрите, является ли $F(x)$ непрерывной на всём $R$? Если нет, то попадают ли точки разрыва в измеряемое множество? (Прошу прощения, ерунду написал).
Во-вторых, зачем писать пределы в точках непрерывности? При этом, заметьте, в некотором смысле....
Цитата:
При вычислении $\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)$ нужно учитывать, что справа две точки разрыв?
- это о чём?

Ну и, наконец, какой смысл переписывать одно и то же разными обозначениями: $F(1+0) \equiv \lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)$ по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 12:59 


26/12/17
64
Walker_XXI в сообщении #1312852 писал(а):
- это о чём?

Я примерно о чем-то таком и думал
Walker_XXI в сообщении #1312852 писал(а):
Во-первых, посмотрите, является ли $F(x)$ непрерывной на всём $R$? Если нет, то попадают ли точки разрыва в измеряемое множество?

Попадает 2015 в $[\pi,2017]$
Ее исключить и рассмотреть меры 3 промежутков $[-1,1], [\pi,2015),(2015,2017]$?

UPD

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 13:53 
Заслуженный участник


01/06/15
832
С.-Петербург
hollo в сообщении #1312860 писал(а):
Ее исключить и рассмотреть меры 3 промежутков $[-1,1], [\pi,2015),(2015,2017]$?
Зачем же исключать (всё-таки в точке 2015 $F(x)$ определена)? Заменить $[\pi,2015)$ на $[\pi,2015]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15885
Новомосковск
hollo в сообщении #1312860 писал(а):
Ее исключить и рассмотреть меры 3 промежутков $[-1,1], [\pi,2015),(2015,2017]$?
То есть как это — исключить? С какой стати? В этой точке сосредоточена некоторая ненулевая мера, и эта точка входит в рассматриваемое множество. Причём, внутренняя. Никаких специальных действий в этом случае предпринимать не надо. У Вас же есть формула, ей и пользуйтесь.

Walker_XXI, не запутывайте бедного студента, он сам запутается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти меру множества
Сообщение17.05.2018, 15:25 


26/12/17
64
Someone в сообщении #1312876 писал(а):
Никаких специальных действий в этом случае предпринимать не надо. У Вас же есть формула, ей и пользуйтесь.

Тогда ответ $\sin(1)+2016-\pi$
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group