2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите решить неравенство
Сообщение17.05.2018, 00:43 


26/03/12
72
Здравствуйте. Простейшая задачка. Дано:
$$
2^{2x}a^{x+1}b \le 1.
$$
Нужно выразить $x$.

Если просто прологарифмировать по основанию 2 обе части, то получается:
$$
2x + \log_{2}a^{x+1} \le \log_{2}\frac{1}{b},
$$
откуда
$$
x \le -\frac{\log_2a + \log_2b}{2+\log_2a}.
$$

Это выглядит правильным, когда $a$ - целое положительное число. Но если мы возьмем, например, $a = 2^{-3}$, то знак неравенства должен поменяться на противоположный ($\ge$). Почему? На каком этапе и какое свойство неравенств или логарифмов нужно было учесть? Как можно выразить $x$ без ограничений на $a$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить неравенство
Сообщение17.05.2018, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15531
Новомосковск
kisupov в сообщении #1312805 писал(а):
Почему?
Предположим, у нас есть неравенство $a\leqslant b$, и мы разделили обе части на число $c\neq 0$. Когда получится неравенство $\frac ac\leqslant \frac bc$, а когда — неравенство $\frac ac\geqslant \frac bc$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить неравенство
Сообщение17.05.2018, 07:32 


26/03/12
72
Someone в сообщении #1312809 писал(а):
kisupov в сообщении #1312805 писал(а):
Почему?
Предположим, у нас есть неравенство $a\leqslant b$, и мы разделили обе части на число $c\neq 0$. Когда получится неравенство $\frac ac\leqslant \frac bc$, а когда — неравенство $\frac ac\geqslant \frac bc$?

Знак неравенства изменится, если $c < 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить неравенство
Сообщение17.05.2018, 09:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4607
Нов-ск
kisupov в сообщении #1312805 писал(а):
$$
2^{2x}a^{x+1}b \le 1.
$$
Как можно выразить $x$ без ограничений на $a$?

$$
(4a)^x \cdot ab \le 1.
$$
Давайте решение для всех случаев (когда $4a$ меньше, больше или рано единице; когда $b$ меньше, больше или рано нулю)
Для ответов можно использовать логарифмирование по основанию $4a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить неравенство
Сообщение17.05.2018, 10:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15531
Новомосковск
kisupov в сообщении #1312823 писал(а):
Знак неравенства изменится, если $c < 0$
Ну вот, вооружившись этим знанием, и выясняйте,
kisupov в сообщении #1312805 писал(а):
Почему?
kisupov в сообщении #1312805 писал(а):
Но если мы возьмем, например, $a = 2^{-3}$, то знак неравенства должен поменяться на противоположный ($\ge$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ioleg19029700


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group