2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите решить неравенство
Сообщение17.05.2018, 00:43 


26/03/12
72
Здравствуйте. Простейшая задачка. Дано:
$$
2^{2x}a^{x+1}b \le 1.
$$
Нужно выразить $x$.

Если просто прологарифмировать по основанию 2 обе части, то получается:
$$
2x + \log_{2}a^{x+1} \le \log_{2}\frac{1}{b},
$$
откуда
$$
x \le -\frac{\log_2a + \log_2b}{2+\log_2a}.
$$

Это выглядит правильным, когда $a$ - целое положительное число. Но если мы возьмем, например, $a = 2^{-3}$, то знак неравенства должен поменяться на противоположный ($\ge$). Почему? На каком этапе и какое свойство неравенств или логарифмов нужно было учесть? Как можно выразить $x$ без ограничений на $a$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить неравенство
Сообщение17.05.2018, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15887
Новомосковск
kisupov в сообщении #1312805 писал(а):
Почему?
Предположим, у нас есть неравенство $a\leqslant b$, и мы разделили обе части на число $c\neq 0$. Когда получится неравенство $\frac ac\leqslant \frac bc$, а когда — неравенство $\frac ac\geqslant \frac bc$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить неравенство
Сообщение17.05.2018, 07:32 


26/03/12
72
Someone в сообщении #1312809 писал(а):
kisupov в сообщении #1312805 писал(а):
Почему?
Предположим, у нас есть неравенство $a\leqslant b$, и мы разделили обе части на число $c\neq 0$. Когда получится неравенство $\frac ac\leqslant \frac bc$, а когда — неравенство $\frac ac\geqslant \frac bc$?

Знак неравенства изменится, если $c < 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить неравенство
Сообщение17.05.2018, 09:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4637
Нов-ск
kisupov в сообщении #1312805 писал(а):
$$
2^{2x}a^{x+1}b \le 1.
$$
Как можно выразить $x$ без ограничений на $a$?

$$
(4a)^x \cdot ab \le 1.
$$
Давайте решение для всех случаев (когда $4a$ меньше, больше или рано единице; когда $b$ меньше, больше или рано нулю)
Для ответов можно использовать логарифмирование по основанию $4a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить неравенство
Сообщение17.05.2018, 10:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15887
Новомосковск
kisupov в сообщении #1312823 писал(а):
Знак неравенства изменится, если $c < 0$
Ну вот, вооружившись этим знанием, и выясняйте,
kisupov в сообщении #1312805 писал(а):
Почему?
kisupov в сообщении #1312805 писал(а):
Но если мы возьмем, например, $a = 2^{-3}$, то знак неравенства должен поменяться на противоположный ($\ge$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group