Помогите решить неравенство

[kisupov]

Здравствуйте. Простейшая задачка. Дано:

$$ 2^{2x}a^{x+1}b \le 1. $$

Нужно выразить $x$.

Если просто прологарифмировать по основанию 2 обе части, то получается:

$$ 2x + \log_{2}a^{x+1} \le \log_{2}\frac{1}{b}, $$

откуда

$$ x \le -\frac{\log_2a + \log_2b}{2+\log_2a}. $$

Это выглядит правильным, когда $a$ - целое положительное число. Но если мы возьмем, например, $a = 2^{-3}$, то знак неравенства должен поменяться на противоположный ($\ge$). Почему? На каком этапе и какое свойство неравенств или логарифмов нужно было учесть? Как можно выразить $x$ без ограничений на $a$?

[Someone]

kisupov в сообщении #1312805 писал(а):

Почему?

Предположим, у нас есть неравенство $a\leqslant b$, и мы разделили обе части на число $c\neq 0$. Когда получится неравенство $\frac ac\leqslant \frac bc$, а когда — неравенство $\frac ac\geqslant \frac bc$?

[kisupov]

Someone в сообщении #1312809 писал(а):

kisupov в сообщении #1312805 писал(а):

Почему?

Предположим, у нас есть неравенство $a\leqslant b$, и мы разделили обе части на число $c\neq 0$. Когда получится неравенство $\frac ac\leqslant \frac bc$, а когда — неравенство $\frac ac\geqslant \frac bc$?

Знак неравенства изменится, если $c < 0$

[TOTAL]

kisupov в сообщении #1312805 писал(а):

$$ 2^{2x}a^{x+1}b \le 1. $$

Как можно выразить $x$ без ограничений на $a$?

$$ (4a)^x \cdot ab \le 1. $$

Давайте решение для всех случаев (когда $4a$ меньше, больше или рано единице; когда $b$ меньше, больше или рано нулю)
Для ответов можно использовать логарифмирование по основанию $4a$

[Someone]

kisupov в сообщении #1312823 писал(а):

Знак неравенства изменится, если $c < 0$

Ну вот, вооружившись этим знанием, и выясняйте,

kisupov в сообщении #1312805 писал(а):

Почему?

kisupov в сообщении #1312805 писал(а):

Но если мы возьмем, например, $a = 2^{-3}$, то знак неравенства должен поменяться на противоположный ($\ge$).