Циклические числа, как частные Ферма

[pcyanide]

В Википедии есть статья о циклических числах, которая у меня (надеюсь не у всех) вызывает больше вопросов, чем ответов.

Начнем с определения: «Циклическое число — это целое число, циклические перестановки цифр которого являются произведениями этого числа на последовательные числа» Сколько последовательных чисел, какие это числа не указано. Я позволю себе сформулировать в более жестком виде, надеясь, что это облегчит доказательство факта, о котором пойдет речь ниже: «n-значное число назовем циклическим, если его произведения на числа 1,2...(n-1) являются циклическими перестановками исходного числа.»

Довольно легко доказать, что если простое число p (отличное от 2 и 5) является полно-периодным, то есть период дроби $\frac{1}{p}$ состоит из $p-1$ цифр, то этот период представляет собой циклическое число. Например $\frac{1}{7}=0,(142857)$, и число 142857 является циклическим:

$$ \begin{matrix} 142857 \cdot 2 = 285714 & 142857 \cdot 3 = 428571 & 142857 \cdot 4 = 571428 \\ 142857 \cdot 5 = 714285 & 142857 \cdot 6 = 857142 \end{matrix} $$

Далее, из алгоритма перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную следует, что для полнопериодного $p$ число вида $\dfrac{10^{p-1}-1}{p}$, называемое частным Ферма, является циклическим.

Указанная статья Википедии однако утверждает обратное (цитирую): «Используя связь с долями единицы, можно показать, что циклические числа имеют вид частного Ферма $\dfrac{b^{p-1}-1}{p}$, где $b$ — основание системы счисления (10 для десятичной системы), а $p$ — простое, которое не делит $b$.»

Что скрывается за таинственной связью с долями единицы и вообще, как доказать этот факт?

Если я не ошибаюсь, это утверждение равносильно следующему (для простоты ограничимся привычной десятичной системой): «Если $A$ - циклическое $n$-значное число, то $A(n+1)=10^n-1$», причем тот факт, что $(n+1)$ — полно-периодное, вытекает из результата. Другое равносильное утверждение: «Всякое циклическое число длины $n$ является периодом десятичной дроби, соответствующeй $\frac{1}{n+1}$».

Кстати, отсюда следует, что число 142857 является единственным «настоящим» циклическим числом, так как 7 — единственное полно-периодное число, меньшее 10. Если число больше 10, то его период начинается с нуля/нулей, при отбрасывании которого/которых. число перестает быть циклическим. В двенадцатеричной системе счисления я нашел два циклических числа: $2497_{12}$ (период $\frac{1}{5}$) и $186T35_{12}$ (период $\frac{1}{7}$, T - двенадцатеричное 10).

Между прочим, если $n$ является составным (но не делится на 2 и на 5), его можно считать полно-периодным, если период для $\frac{1}{n}$ состоит из $\varphi(n)$ цифр ($\varphi(n)$ — функция Эйлера / totient function). В этом случае если умножать период (т.е. число $\dfrac{10^{\varphi(n)}-1}{n}$) на числа, меньшие $n$ и взаимно простые с $n$, будем снова получать циклические перестановки. Есть такие примеры?