Существование симметричной матрицы

[Asmilog]

Пусть $x, y \in \mathbb{R}^n$ - ненулевые векторы. Верно ли, что всегда найдётся симметричная матрица A, такая что $Ax=y$?

Пока мысли такие: если все компоненты x ненулевые, то $A = \operatorname{diag}(y_1/x_1, ..., y_n/x_n)$. Иначе выберем ортонормированный базис (с матрицей перехода в который S), в котором все компоненты ненулевые, $A' = \operatorname{diag}(y'_1/x'_1, ..., y'_n/x'_n)$. Тогда легко показать, что матрица $A = S A' S^{-1}$ симметричная и $Ax = y$. Осталось доказать, что всегда найдётся нужный ОНБ. Может есть другие идеи, попроще?

Также пробовал доказать, что такой симметричной матрицы не существует. Но в $\mathbb{R}^2$ контрпримеров не нашёл.

[pogulyat_vyshel]

Симметричная матрица это дважды ковариантный симметричный тензор, его можно интерпретировать как линейный оператор переводящий векторы в ковекторы.
Переходим в систему координат в которой $x=(1,0,\ldots,0)$ Откуда сразу ясно, что при любом $x\ne 0$ и любом $y$ сущетсвует симметричная матрица $A$ такая что $Ax=y$

[vpb]

Да, можно попроще. Если векторы пропорциональны, всё ясно. Иначе рассмотрим двумерную плоскость, натянутую на них, и к ней ортогональное дополнение. Возьмем самосопряженный, то бишь симметрический, оператор, который оставляет инвариантной как плоскость, так и дополнение. В плоскости он должен переводить $x$ в $y$, а в дополнении пусть действует как хочет, хошь нулем. ... Э...Вы понимаете, что я имею в виду, или нужно подробнее ? Я всякие подробности опустил, но Вы, кажется, сами их восстановить можете.

[Asmilog]

vpb, большое спасибо! Всё понял, дальше справлюсь.

[Asmilog]

Придумал альтернативное решение: будем искать матрицу A методом неопределённых коэффициентов. Из уравнения $Ax = y$ получаем систему из $n$ линейных уравнений с $\frac{n(n+1)}{2}$ неизвестными (главная диагональ и выше). Матрица B этой системы имеет линейно независимые строки (потому что в каждой строке ровно 1 диагональный элемент матрицы A входит с ненулевым коэффициентом).
$n < \frac{n(n+1)}{2}$, следовательно $\operatorname{rank}(B)=n$. Значит расширенная матрица $(B | y)$ имеет тот же ранг. По теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. A существует.

[vpb]

Asmilog в сообщении #1312600 писал(а):

потому что в каждой строке ровно 1 диагональный элемент матрицы A входит с ненулевым коэффициентом).

Так это имеет место тогда и только тогда, когда у $x$ все коэффициенты ненулевые. Получается то же самое, что и первое решение.

Кстати, должен сказать, что и Ваше первое решение очень несложное (если суметь доказать, что для любого ненулевого вектора существует ортонормированный базис такой, что все коэффициенты данного вектора в этом базисе отличны от нуля; а это тоже несложно).

[TOTAL]

Cчитаем $||x||=||y||$, где $||x||^2=\sum_k{x^2_k}$.
Тогда элементы искомой симметричной матрицы $a_{ij}=\delta_{ij}-2u_iu_j, \quad u_i=\dfrac{x_i - y_i}{||x-y||}$

[pogulyat_vyshel]

Доказательства, использующие всякую лишнюю структуру (скалярное произведение в данном случае) всегда выглядят вымученно