алгебра, кольца

[philurame]

помогите пожалуйста с задачей:
a) Доказать, что кольцо $C[x, y]/(x^2 + y^2-1)$ не изоморфно $C[x]$,
b) но его поле частных изоморфно $C[x]$.
как доказывать НЕ изоморфизм? я понимаю, что $x^2+y^2-1$ из $C[x,y]$ должен переходить в $1$ из $C[x]$, 0 $\rightarrow$ 0, но что делать дальше?
(в указании к задаче предлагают использовать тот факт, что синус и косинус рационально выражаются через тангенс половинного
угла, но я не понимаю как это использовать здесь)

[Narn]

Указание - оно ко второй части. А первая - ну, например, какие свойства есть у кольца многочленов от одной переменной? Если фактор-кольцо хоть одним из них не обладает, то оно не может быть изоморфно $\mathbb{C}[x]$.

[VAL]

Чего-то я не понял.
Как это кольцо, не являющееся полем, может быть изоморфно полю?

[Chanzaa]

Во-первых, в b там не $C[x]$, а $C(x)$, поле рациональных функций.

Во-вторых, это задачка из листочка матфака для первокурсников на автомат по алгебре, и её лучше решать самостоятельно.
http://me.hse.ru/esmirnov/2018/04/10/

[VAL]

Chanzaa в сообщении #1312679 писал(а):

Во-первых, в b там не $C[x]$, а $C(x)$, поле рациональных функций.

Во-вторых, это задачка из листочка матфака для первокурсников на автомат по алгебре, и её лучше решать самостоятельно.
http://me.hse.ru/esmirnov/2018/04/10/

Спасибо! Мне достаточно "во-первых".
Надеюсь, ТС учтет и "во-вторых", хотя...